Понятия множества и элемента множества

Место и значение курса математики

Лекция № 1

Теория множеств

в системе подготовки начальных классов

Успешное обучение математики младших школьников требует от учителя не только методического мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и фактов. Дело не только в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий как «число» и «величина», происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Всё это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальной школы. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числами, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письменные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач.

Существенное изменение структуры начальной школы в связи с введением обучения шестилетних детей требует повышения уровня профессиональной подготовки учителей начальных классов.

Множества и операции над ними

В математике часто рассматривают те или иные группы объектов, как единое целое: натуральные числа, треугольники и т.д. Все эти различные совокупности называют множествами.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Например, множество гласных букв русского алфавита, множество натуральных чисел и т. д.

В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «собрание», «коллекция» и т.д. Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике этого не требуется. Можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта и множество, не содержащее ни одного объекта.

Обозначают множества буквами латинского алфавита: A, B, C, D … Z.

Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают Æ.

Объекты, из которых образованно множество, называют элементами. Например, число 3 является элементом множества натуральных чисел. Обозначают элементы малыми буквами латинского алфавита: a, b, с, d … z.

В математике нередко приходиться выяснять, принадлежит какой– либо объект множеству или не принадлежит (число 5– натуральное, а 0,75 не принадлежит множеству натуральных чисел). Для этого используют символы Ζ принадлежит, Ï– не принадлежит.

Предложение «объект а принадлежит множеству А» кратко запишется: аÎА.

Заметим, что в геометрии, если точка является элементом какого-либо множества, то её обозначают заглавной буквой. Например, если Х- множество точек отрезка АВ, то предложение «точка Р лежит на отрезке АВ» можно записать РÎХ.

Множество, состоящее из небольшого числа элементов, часто встречаются в математике (множество натуральных чисел первого десятка). Есть ещё меньшие по количеству множества (множества решений уравнения 2х – 6 = 0, оно состоит из одного элемента 3, в этом случае множество решений можно записать {3}). Если рассматривать квадратное уравнение х² – 5х + 6 = 0, то множество его решений есть {2, 3}.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные – множество дней недели, множество месяцев в году; бесконечные – множество точек на прямой, множество натуральных чисел.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Такое обозначение, когда все элементы множества записывают через запятые и заключаются в фигурные скобки, используют для задания конечных множеств, состоящих из небольшого числа элементов, и называется заданием множеств способом перечисления элементов (множество учеников в классе). Иногда с помощью фигурных скобок обозначают и бесконечные множества (N = {1,2,3,…}– множество натуральных чисел).

Множество может состоять из элементов, которые сами являются множествами (множество «звеньев» во 2 «А» классе, каждое звено есть множество, состоящее из нескольких учеников класса).

В начальной школе обычно имеют дело с конечными множествами. Элементами множества могут быть самые разнообразные предметы любой природы, как конкретные (растения, животные, предметы обихода и т.д.), так и абстрактные (числа, геометрические фигуры, отношения и т.д.), или изображения таких объектов.

Дата добавления: 2014-01-06