Адиабатическое приближение Борна-Оппенгеймера

Вывод: каждый атом кристалла, получивший от быстрой частицы энергию больше Еd, может сместиться в междоузлие, в результате чего одновременно возникают вакансия и атом междоузлия, т.е. радиационные дефекты всегда парные – дефекты Френеля. Если значение энергии смещённых атомов, называемых атомами отдачи, превышает Еd, то эти первичные атомы отдачи могут создавать в свою очередь вторичные атомы отдачи, и так далее, до тех пор, пока энергия смещённых атомов не приблизится к пороговому значению Еd, и таким образом возникает каскад атомных смещений.

Рисунок: вдоль пути движущейся частицы образуется сильно разупорядоченная область. Образование каскада смещений занимает время 10^-13.. 10^-14 с. После этого происходит более длительный процесс релаксации, определяющий в конечном счёте число и распределение образовавшихся дефектов, от которых зависят физические свойства твёрдого тела.

4.3. Дислокации

Дислокации – устойчивые линейные дефекты кристаллической решётки, нарушающие чередование атомных плоскостей.

Дислокации, нарушающие дальний порядок в кристалле искажают всю его структуру. Различают 2 типа дислокаций: краевая и винтовая.

4.3.1. Краевая дислокация

Краевая дислокация характеризуется лишней кристаллической плоскостью, вдвинутой между двумя соседними слоями атомов. Этот лишний слой (лишняя плоскость) называется экстра-плоскостью.

Для краевой дислокации характерно так называемое нониусное расположение атомных плоскостей. Т.е. сверху n+1 атомная плоскость, а снизу, на том же отрезке длины n-плоскостей. Если представить введении дислокации сдвигом, то можно сказать, что верхняя часть атомной сетки сдвинута относительно нижней на одно межатомное расстояние, и вектор сдвига обозначен τ.

Краевые дислокации подразделяются на положительные и отрицательные.

Положительная дислокация соответствует случаю, когда сверху есть лишняя полуплоскость. Соответственно в верхней половине кристалла действуют сжимающие напряжения, а в нижней – растягивающие. Отрицательная дислокация соответствует случаю, когда верхняя половина кристалла растянута, а нижняя – сжата. Положительная и отрицательная дислокации отличаются поворотом на 180°, поэтому если дислокация одна, то нет смысла говорить о её знаке, т.е. знак существует, если рядом есть другая дислокация. Причём одноименные дислокации – отталкиваются, а разноимённые – притягиваются. Под действием внешнего напряжения дислокации в кристалле могут двигаться, причём разноимённые дислокации под действием одного и того же внешнего напряжения движутся в разные стороны. Разноимённые дислокации, такие как на рисунке выше, при встрече взаимно уничтожаются – аннигилируются, в результате чего восстанавливается целостность решётки.

На рисунке показан кристалл, на которой действует сдвигающее напряжение. Верхняя половина кристалла сдвигается относительно нижней по плоскости скольжения. Граница сдвига АВ, отделяющая сдвинутую область относительно не сдвинутой и есть линия краевой дислокации, перпендикулярная вектору сдвига.

4.3.2. Винтовая дислокация

Лекция № 6 от 28.10.2011

Винтовая дислокация в кристалле также возникает при сдвиге одной части кристалла относительно другой, но, в отличие от краевой дислокации, линия винтовой дислокации параллельна вектору сдвига.

Можно представить, что в кристалле произведён разрез (рис. а), а затем сдвиг вдоль плоскости разреза (рис. б). Линия BC, отделяющая сдвинутую часть от не сдвинутой, и есть линия винтовой дислокации. Кристалл, содержащий винтовую дислокацию, состоит не из параллельных атомных плоскостей, а как бы из одной атомной плоскости, закрученной как винтовая лестница. Ось этого винта – BC – есть линия винтовой дислокации.

Винтовые дислокации бывают правые и левые, причём направление вращения играет ту же роль, что и знак у краевых дислокаций. Две правые и две левые винтовые дислокации отталкиваются, а правая и левая – притягиваются.

Вывод: и винтовая, и краевая дислокации – границы между сдвинутой и не сдвинутой частями кристалла, причём краевая дислокация перпендикулярна вектору сдвига, а винтовая – параллельна ему. Линия дислокации не может кончаться внутри кристалла – она должна либо выходить на поверхность, либо разветвляться на другие дислокации, либо образовывать внутри кристалла замкнутую петлю.

4.3.3. Подвижность дислокаций

Характерной особенностью дислокаций является их подвижность. Под действием внешних сил дислокация может перемещаться внутри кристалла.

Пусть под действием внешней силы в кристалле произошёл сдвиг, и границей области сдвига является краевая дислокация (рис.а). Для того, чтобы этот сдвиг распространился дальше и дислокации передвинулись в плоскости скольжения на одно межплоскостное расстояние достаточно, чтобы разорвалась связь по одной соседней области. Тогда дислокация переместится на одно межатомное расстояние (рис.б), при этом целостность плоскости, которая была оборвана, восстанавливается, а соседняя плоскость становится оборванной и так далее. Когда скользящая краевая дислокация пересекает весь кристалл и выходит на его поверхность, верхняя половина кристалла оказывается сдвинутой относительно нижней на одно межплоскостное расстояние так, что на одной боковой поверхности кристалла образуется ступенька, а на всём пути, где прошла дисслокация, восстанавливается целостность решётки (рис.в).

NB: Плоскость, в которой движется краевая дислокация, называется плоскостью скольжения, а направление вектора сдвига определяет направление скольжение

4.4. Контур и вектор Бюргерса

Рисунок: Контур Бюргерса в реальном (а) и исходном идеальном кристалле (б).

Проведём в решётке замкнутый контур Бюргерса вокруг плоскости, не содержащего линии дислокации. Второй такой же контур Бюргерса построим в такой же области решётки, но так, чтобы внутри была дислокация, как на рисунке б). Контуры строятся таким образом, чтобы у них были одинаковые направления обхода и число шагов. На рисунке а) проведён путь 1-2, равный 5 шагам. Путь 2-3, равный 4-м шагам, 3-В равный 4-м шагам, А-1 – 4-м шагам. Контур замкнут. На рисунке б): если 3-В равно 4-м шагам, то контур не замкнут. Чтобы его замкнуть, нужно сделать ещё один шаг – В-А.

Вектор, замыкающий разрыв контура, называется вектором Бюргерса. Вектор Бюргерса – мера искажения решётки, обусловленная присутствием дислокации. Аналогично для винтовой дислокации. Для краевой дислокации виктор – межплоскостное расстояние оборванной плоскости, для винтовой – шаг винта в направлении оси дислокации.

Если движение дислокации не сопровождается переносом массы, то это консервативное движение или скольжение. Если происходит массоперенос, например когда движение краевой дислокации происходит не в плоскости скольжения, а происходит переползание дислокации ниже этой плоскости, например, к краю оборванной полуплоскости подойдут лишние внедрённые атомы из объёма кристалла, и дислокации ползут ниже, то такое движение называется переползанием.

4.5. Энергия дислокации

Энергия дислокации – энергия, затрачиваемая на искажение решётки при образовании дислокации. Эту энергию рассчитывают как работу, которую нужно затратить против сил связи в решётке, чтобы осуществить разрыв и сдвинуть две атомные плоскости в решётке друг относительно друга, т.е. ввести дислокации:

Где G – модуль сдвига, b – модуль вектора Бюргерса.

Порядок величины U составляет несколько электрон вольт на заданную плоскость. Дислокации с минимальным b обладают наименьшей энергией, они менее подвижны. Дислокации с большими b легко распадаются на дислокации с большими b.

4.6. Источники дислокации

Дислокации возникают в кристаллах в процессе их выращивания. При определённых условиях получают тела с низкой плотностью дислокации (~10²см^-2 и менее). В то же время известно, что при деформации плотность дислокации возрастает и может достигать 10¹⁰см^-2. Для объяснения этого факта необходимо допустить, что внутри кристалла имеются источники дислокаций. Одним из возможных механизмов размножений дислокаций был предложен Франком и Ридом, и был назван источник Франка и Рида (рисунок 1). Линия АВ представляет собой краевую дислокацию с закреплёнными концами (рисунок 2). Франк и Рид обнаружили, что отрезок АВ может действовать как источник неограниченного числа дислокаций. Под действием внешнего напряжения τ дислокация начинает выгибаться в плоскости скольжения и занимает положение 1. Если бы концы отрезка были свободны, то дислокация стала бы двигаться путём скольжения. Постепенное выгибание дислокаций может происходить лишь при непрерывно возрастающем напряжении τ, достигающего максимального значения в момент, когда дислокация принимает форму полуокружности. При этом критическое напряжение:

Критическое напряжение источника Франка-Рида, где l – длинна отрезка АВ.

При τ_кр концентрация становится не стабильной, и дислокация самопроизвольно расширяется, занимая положение 2, 3, 4. В положении 4 части дислокационной петли С и С’ имеют винтовые компоненты противоположного знака, т.е. движутся на встречу друг другу в одной и той же плоскости скольжения, и взаимно уничтожаются. В результате этого происходит разделение дислокации на 2: внешнюю и внутреннюю (положение 5). Внешняя дислокация разрастается до поверхности кристалла, а внутренняя занимает исходное состояние. После этого весь процесс начинается сначала. Число дислокаций, генерируемых источником Франка-Рида, не ограничено.

Лекция № 7 от 11.11.11

К/р вплоть до темы 3 включительно.

Типы сингонии, основные элементы симметрии, условия индексов миллера.

Тема 5: Энергетический спектр кристаллов.

5.1. Описание энергетического состояния кристалла при помощи газа квазичастиц. Примеры квазичастиц.

С точки зрения квантовой теории твёрдого тела энергия колебаний решётки (или энергия упругой волны) являются квантовой величиной. Поэтому вводят понятие о фононах как о некоторых, распространяющихся в решётке квазичастицах, обладающих определёнными энергиями и направлениями движения.

Nβ: Фонон – квант энергии упругой волны в кристалле.

Энергия фононов связана с угловой частотой колебаний:

Волновой вектор определяет так называемый квазиимпульс фонона:

Квазиимпульс есть величина, определённая с точностью до постоянного вектора где – вектор трансляции обратной решётки. Значение отличающееся на такую величину, физически эквивалентно.

Скорость фонона определяется выражением: (скорость фонона)

т.е. связано с угловой частотой колебаний.

Свободному распространению волн в гармоническом приближении соответствует в квантовой теори свободное движение невзаимодействующих друг с другом фононов. Во всех процессах должны соблюдаться законы сохранения и импульса.

Понятие о фононах является частным случаем более общего понятия, играющего основную роль в теории квантовых энергетических спектров всяких макроскопических тел.

Nβ: Всякое слабо возбуждённое состояние макроскопического тела может рассматриваться в квантовой механике как совокупность элементарных возбуждений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некие квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объёме.

Пока число элементарных возбуждений достаточно мало, они не взаимодействуют друг с другом, так что их совокупность можно рассматривать как идеальный газ квазичастицы. Понятие элементарных возбуждений возникает как способ квантово-механического описания коллективного движения атомов тела.

Помимо фононов, существуют и другие важные квазичастицы.

Nβ:

1. Плазмоны – кванты элементарных возбуждений, обусловленные кулоновским взаимодействием между электронами и положительными ионами. Возникают в металлах и полупроводниках.

2. Магноны – кванты элементарных спиновых возбуждений; спиновое возбуждение – нарушение спиновой упорядоченности в кристалле. Возникает в ферромагнетиках, антиферромагнетиках, ферримагнетиках.

3. Экситон – взаимодействие электрона и дырки в кристалле, приводящее к связанному состоянию этих частиц.

4. Поляроны – электроны, взаимодействующие с фононами; или область искажения решётки вместе с находящимся там электроном.

Название	Обозначение	Поле
Электрон
Фотон		Электромагнитная волна
Фонон		Упругая волна
Плазмон		Коллективная электронная волна
Магнон		Волна перемагничивания
Полярон		Электрон + упругая деформация
Экситон		Волна поляризации

5.2. Уравнение Шредингера для твёрдого тела

Для твёрдого тела спрведливо стационарное уравнение Шредингера, которое описывает состоятие всех частиц в этом твёрдом теле:

где ψ – собственная волновая функция, Е – энергия.

Энергия:

Перейдём к нашему отношению:

Вернёмся к твёрдому тел и запишем оператор кинетической энергии твёрдого тела:

где m_i – масса электрона, M_k – масса ядер.

Потенциальная энергия складывается из трёх составляющих:

где r – радиус электронов, R – радиус-вектор ядер, 1-е слагаемое -, 2-е – энергия взаимодействия ядер с ядрами (кулоновское отталкивание ядер), 3-е – энергия взаимодействия электронов с ядрами (кулоновское притяжение электронов и ядер)

Функция ψ, входящее в уравнение Шредингера, зависит от координат всех частиц:

Если на эту функцию наложить ограничение, вытекающее из её физического смысла, а именно конечность, однозначность и непрерывность, то уравнение Шредингера будет иметь решение не при любых значениях энергии Е, а только при некоторых. Эти решения определяют уровни энергии в твёрдом теле или энергетический спектр твёрдого тела.

Из-за большого числа независимых переменных уравнение Шредингера для твёрдого тела не может быть решено в общем виде, поэтому прибегают к ряду упрощений:

Ядра, обладающие большой массой, считаются покоящимися, так как скорость электронов много больше скорости ядер, которые колеблются в узлах решётки. В этом случае радиус-векторы уже не являются переменными, а представляют собой фиксированные параметры – координаты узлов решётки. Уравнение Шредингера в этом приближении упрощается: так как ядра покоятся, следовательно их кинетическая энергия равна 0:

Потенциальная энергия взаимодействия ядер становится константой, причём выбором начала координат можно обратить в 0:

Тогда уравнение Шредингера примет вид:

Это уравнение описывает движение электрона в поле покоящихся ядер.

Дата добавления: 2014-01-06