Математическое ожидание

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью

распределения на отрезке . Разобъем этот отрезок на частичных отрезков длиной и выберем в каждом из них произвольную точку . Определим математическое ожидание непрерывной случайной величины по аналогии с дискретной. Составим сумму произведений возможных значений на вероятности попадания их в интервал :

.

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частных отрезков, получим определенный интеграл

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл

.

Если возможные значения принадлежат всей оси , то

.

При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно (конечен, ограничен), т.е. существует интеграл .

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения принадлежат отрезку , то

.

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной величины, равенством

Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Замечание 2. Легко получить, что

.

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины , распределенной равномерно в интервале .

Решение. Найдем математическое ожидание по формуле

, учитывая, что плотность равномерного распределения :

Найдем дисперсию по формуле

Дата добавления: 2014-01-06