Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной

случайной величины, которое описывается плотностью

Видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами:и .

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров: есть

математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

Для интегрирования вводим новую переменную Отсюда Новые пределы интегрирования остаются равными старым. Получим

В этом выражении первый интеграл равен нулю, т.к. под знаком интеграла нечетная функция. Второе из слагаемых равна , т.к. интеграл Пуассона. Следовательно, .

Математическое ожидание нормального распределения равно параметру распределения .

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что , имеем

Введем новую переменную Отсюда

При этом пределы интегрирования не меняются и получим

Интегрируя по частям, положив

найдем

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равна параметру распределения.

Замечание. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и .

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и Например, если - нормальная величина с параметрами и , то - нормированная нормальная величина, причем Плотность нормированного распределения

Эта функция табулирована и приводится в приложениях учебников.

Дата добавления: 2014-01-06