Числовые характеристики дискретных случайных величин

Дискретные случайные величины

Тема 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Рассмотрим переменную X, которая принимает свои отдельные значения x с некоторой вероятностью p.

Определение. Случайной величиной X называется действительная функция X(x), определенная на множестве всех исходов опыта, обладающего статистической устойчивостью.

Случайные величины делятся на дискретные (или прерывные) и непрерывные.

Определение. Случайная величина X называется дискретной, если множество ее значений { x₁, x₂, x₃, …,x_n …} конечно или счетно.

Примером дискретной случайной величины может служить число пассажиров автобуса при его движении по маршруту.

Под законом распределения случайной величины понимается соответствие между значениями случайной величины и вероятностями, с которыми эти значения принимает случайная величина. Для дискретной случайной величины закон распределения задается в виде таблицы

Таблица 1

Значения случайной величины xi	x1	x2	x3	…	xn	…
Вероятности значений pi	p1	p2	p3	…	pn	…

В первой стоке этой таблицы значения x_i случайной величины, во второй вероятности p ³ 0 и сумма их равна 1, т.е.

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n + … = 1

Если две случайные величины X и Y определены на одном множестве исходов опыта, то для них определены алгебраические операции: X + Y, C×X (С – постоянное число), X×Y. Произведение случайной величины X на постоянную величину С – это есть новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные произведению на С значений случайной величины X.

Пусть закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

xi	x1	x2	x3	…	xn	…	(3)
pi	p1	p2	p3	…	pn	…

Определение. Сумма

(4)

называется математическим ожиданием дискретной случайной величины и обозначается M(X).

Свойства математического ожидания:

1) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной, т.е. M(C) = C.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(CX) = C M(X).

3) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

4) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X) × M(Y)

Определение. Дисперсией D(x) случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины [X – M(X)]², т.е.

D(X) = M[X – M(X)]², (5)

Разность X – M(X) – это есть отклонение случайной величины X от своего математического ожидания. Поэтому дисперсия случайной величины X согласно (5) – это есть математическое ожидание квадрата отклонения ее от математического ожидания. Пусть M(X) = a. Тогда формулу (5) более подробно можно записать следующим образом:

D(X) = (x₁ – a)² × p₁ + (x₂ – a)² × p₂ + … + (x_n – a)² × p_n + … (6)

Свойства дисперсии:

1) Дисперсия постоянной равна нулю, т.е. D(X) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, т.е.

D(CX) = C² D(X)

3) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

D(X + Y) = D(X) + D(Y)

Определение. Средним квадратическим отклонением s_x случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии

(7)

Дата добавления: 2014-01-06