Правило трех сигм

Выше была рассмотрена формула P(|X – a| < e) = 2 Ф .

Преобразуем эту формулу, положив = t и, следовательно, e = s×t. В результате будем иметь P(|X – a| < s t) = 2Ф(t).

Таким образом, значение функции 2Ф(t) при заданном t определяет вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине будет меньше числа s×t.

Например, если t = 1 и, следовательно, s×t = s, то

P(|X – a| < s) = 2Ф(1) = 2×0,3413 = 0,6826.

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше среднего квадратического отклонения, равна 0,6826.

Положим теперь t = 3. Тогда s×t = 3s, и поэтому будем иметь

P(|X – a| < 3s) = 2Ф(3) = 2 × 0,4965 = 0,9973

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что отклонение по абсолютной величине превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев такое событие может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от математического ожидания (по абсолютной величине) не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На основании сформулированного правила трех сигм в статистике часто пролагают, что относительная частота не может отклониться (по абсолютной величине) от вероятности более чем на три сигмы.

Дата добавления: 2014-01-06