Нахождение дискретного сигнала по его z-изображению

Для этого мож­но воспользоваться обратным z -преобразованием (19.29).

Другой способ заключается в том, чтобы разложить функцию X (z) в степенной ряд по степеням z ^–1. Тогда коэффициенты при степенях z ^–1 будут, в соответствии с формулой (19.28), отсчетами дискретного сигнала x (k).

Процедура деления здесь не приведена из-за ее громоздкости, хотя выражения полиномов, стоящих в числителе и знаменателе X (z), не слишком сложные.

Более эффективным способом нахождения x (k) по известному X (z) является способ подобный методу разложения на простейшие дроби в преобразованиях Лапласа.

Пример. Найдем общий член x_k дискретного сигнала x (k), которому соответствует z -изображение, заданное в предыдущем примере

.

Функция X (z) имеет полюсы в точках z ₁ = 1/2 и z ₂ = –1/3, или, что то же, в точках z ₁^–1 = 2 и z ₂^–1 = –3.

Разложим X (z) на сумму простых дробей:

.

Коэффициенты в числителях каждой дроби вычисляются так же, как при разложении входного сопротивления z (p) реактивных двухполюсников при синтезе их по схеме Фостера:

Подобно тому, как формула (19.33) представляет сумму ряда (19.32), простые дроби в (19.16) являются суммами рядов

и .

Поскольку z -преобразование – это линейная операция, то последовательность x (k) состоит из суммы двух последовательностей:

.

После выполнения операции возведения в степень k получим отсчеты дискретного сигнала

и т. д.

Свойства z -преобразования. Так же как и для преобразований Лапласа и Фурье, существуют теоремы для z -преобразования. Приведем наиболее важные теоремы одностороннего z -преобра­зования.

Теорема линейности (суперпозиции).Сумме дискретных сигналов соответствует сумма их z -изобра­жений. Если дискретным сигналам x (k) и y (k) соответствуют z -изоб­­­ра­жения X (z) и Y (z), то

,

где a и b – некоторые числа.

Доказательство теоремы выполните самостоятельно, используя выражение (19.28) для расчета z -изображения дискретного сигнала.

Теорема опережающего сдвига. Если дискретному сигналу x (k) соответствует одностороннее z -преобразование X (z), то сигналу, сдвинутому на один интервал дискретизации, x (k + 1) соответствует z -преоб­ра­­зование z (X (z) – x (0)).

Математическая запись теоремы имеет вид

,

Чтобы доказать теорему, воспользуемся основным выражением (19.28) для расчета z -преобразования дискретных сигналов x (k) и x (k + 1), а также графиками, приведенными на рис. 19.19.

;

.

Сравнивая X (z) и X ¢(z), получаем X ¢(z) = z (X (z) – x (0)), что и требовалось доказать.

Очевидно, что теорема опережающего сдвига выполняет ту же самую роль, что и теорема дифференцирования для преобразований Лапласа.

Теорема задержки. Математическая запись теоремы имеет вид

.

В теореме задержки u (k) – это дискретные отсчеты функции единичного скачка (рис. 19.20)

а u (k – N) – это дискретные отсчет функции u (k), задержанной на N интервалов дискретизации (рис. 19.25).

Доказательство вытекает из основного выражения (19.28) для z -преобразования.

При доказательстве учтено, что единичная ступенчатая функция обращается в нуль при отрицательных значениях ее аргумента, т. е. при n < N. Из теоремы задержки в частности следует, что сдвиг дискретного сигнала на один интервал дискретизации T соответствует умножению z -преобразования на оператор z ^–1, поэтому часто z ^–1 называют оператором единичной задержки в z -области.

Теорема умножения на a^k. Математическая запись теоремы имеет вид

.

Теорема умножения наn.

.

Теоремы умножения дискретного сигнала x (k) на a^k и на k можно также доказать, используя формулу (19.28). Предлагаем проделать это самостоятельно.

Теорема свертки. Свертке дискретных сигналов x (k) и h (k) соответствует произведение их z -преобразований

.

Эту теорему мы приводим здесь без доказательства. При необходимости с ним можно познакомиться в специальной литературе.

Пример. Найдем z -преобразование функции единичного отсчета, задержанной на N интервалов дискретизации.

Найдем z -преобразование дискретного d -импульса d(k) (рис. 19.4), используя выражение (19.28)

.

Используя теорему задержки, найдем z -изображение сигнала d(k – N)

.

На рисунке 19.4 приведен также график задержанной функции единичного отсчета для частного случая N = 2.

Пример. Найдем z -преобразование функции

.

В одном из примеров мы уже находили, что z -преобразование сигнала a^k имеет вид (19.33) X (z) = 1/(1 – az ^–1).

Используя теорему задержки, получаем

.

При a = 1 имеем:

.

Графики дискретных сигналов u (k – N) и a^{k – N}u (k – N) приведены на рис. 19.21 и 19.22.

Пример. Найдем z -преобразование дискретной последовательности x (k) = = ka^k, k 0.

Поскольку z -изображение последовательности a^k известно (19.15), то, используя теорему умножения на k, получим

.

Пример. Найдем z- преобразование дискретной последовательности из N отсчетов единичной амплитуды (рис. 19.23)

Сигнал x (k) можно представить как разность двух сигналов

.

Из теорем линейности и задержки легко получить z -преобра­зование

,

что совпадает с формулой для частичной суммы геометрической прогрессии

.

Табл. 19.1 – Краткая таблица односторонних z -преобразований

Дискретный сигнал x (k), k 0	z -преобразование

Дата добавления: 2014-01-06