Интерполяционный многочлен Ньютона

Конечные и разделенные разности

Конечные и разделённые разности играют особую роль в теории интерполяции. Они используются как для формирования новых интерполяционных формул, так и для оценки погрешности интерполяции.

Пусть дана таблица значений функции . Конечной разностью первого порядка в точке x_i (обозначается символом ), называется выражение

,

второго порядка, обозначается , – выражение

,

k-го порядка, –

.

Так, например, , ,

Разделенной разностью первого порядка в точках ,, обозначается, называется выражение

,

второго порядка в точках , , , обозначается , – выражение

,

k-го порядка в точках , , , – выражение

.

Так, например,

,

,

.

Получим некоторые полезные для дальнейшего соотношения, связанные с разделенными разностями.

Выразим через значения функции в узловых точках. Так, непосредственно из определения следует

,

и, после очевидных преобразований,

.

Продолжая, далее, по индукции, получим

.

Или, для сокращения записи, используя функцию (2.3),

(2.5)

Замечание. Если в поменять местами значения , то это приведет лишь к перестановке соответствующих слагаемых правой части соотношения (2.5). Следовательно, разделенные разности являются симметричными функциями узловых точек.

Так, например

,

и т.д.

Получим теперь второе полезное соотношение.

Выразим через разделенные разности. Так, непосредственно из определения следует

Прибавляя теперь к правой части после очевидных преобразований получим

.

Рассуждая далее по индукции по m придем к искомому соотношению

(2.6)

Если теперь изменить нумерацию точек и обозначить через , через и т.д., то соотношение (2.6) с учетом симметричности распределенных разностей принимает вид

(2.6₁)

По аналогии с (2.6) рассмотрим многочлен степени n.

(2.7)

Определим его значения в узловых точках. Так, непосредственно из (2.7) имеем

Далее,

,

но, с учетом (2.6) при это равняется .

Т.о.

Аналогичным образом получаем, что

Таким образом, многочлен (2.7) принимает заданные значения в заданных точках и, следовательно, является интерполяционным. Он и называется интерполяционным многочленом Ньютона. Заметим, что в силу единственности (п. 2.2) различия между интерполяционными многочленами Лагранжа и Ньютона чисто внешние.

Дата добавления: 2014-01-06