Общее уравнение прямой

Теорема 2. В общей декартовой системе координат прямая выражается уравнением первой степени:

. (1)

Доказательство. Перепишем каноническое уравнение прямой (§ 50) в виде

.

Полагая ; ; , приведём его к виду .

Это уравнение первой степени, т.к. вектор ненулевой, а потому А и В одновременно в нуль не обращается (А = m, B =- l).

Теорема 3 (обратная). Всякое уравнение первой степени

(2)

в общей декартовой системе координат является уравнением прямой.

Доказательство. Пусть - какое-нибудь решение уравнения

; т.е. (3)

Данное уравнение будет эквивалентно уравнению, которое мы получим, отняв почленно из уравнения (2) равенство (3):

,

или

.

По доказанному в первой теореме это уравнение прямой, а следовательно и уравнение

является уравнением прямой, направляющим вектором которой является вектор и которая проходит через точку .

Уравнение называется общим уравнением прямой.

Дата добавления: 2014-01-07