Направляющий вектор прямой, заданной общим уравнением

Из предыдущей теоремы следует, что если прямая задана общим уравнением

относительно общей декартовой системы координат, то вектор и всякий ненулевой вектор, с ним коллинеарный, является направляющим вектором этой прямой.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием того, что вектор коллинеарен прямой, заданной относительно общей декартовой системы координат уравнением

является условие

(1)

Доказательство. Отложим вектор , от любой точки данной прямой. Конец р отложенного вектора будет иметь координаты .

Вектор коллинеарен данной прямой тогда и только тогда, когда точка р лежит на данной прямой, т.е. тогда и только тогда, когда выполнено равенство

или

(, т.к. точка лежит на данной прямой). Ч.т.д.

Теорема 5. Если прямая задана общим уравнением

относительно декартовой прямоугольной системы координат, то вектор

перпендикулярен этой прямой.

Доказательство. В самом деле, направляющий вектор прямой является вектор , тогда, взяв скалярное произведение, имеем:

,

значит, вектор перпендикулярен направляющему вектору данной прямой, а потому вектор перпендикулярен и самой прямой. Ч.т.д.

Для общей декартовой системы координат это положение, вообще говоря, не имеет места. Вектор , координаты которого служат коэффициентами в общем уравнении прямой относительно общей декартовой системы координат, называется главным вектором этой прямой.

Главный вектор , заданной уравнением относительно общей декартовой системы координат, неколлинеарен этой прямой. В самом деле, по условию коллинеарности вектора и прямой , имеем:

, .

Дата добавления: 2014-01-07