Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Кинетическая энергия точки и механической системы. Теорема Кёнига. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и механической системы. Кинетическая энергия твердого тела. §62, 67, 68, 69.

Лекция IV-Д-7

Рассмотрим материальную точку М массой т, движущуюся под действием сил . Установим зависимость между работой, совершаемой приложенными к точке силами на перемещении М₁М₂, и изменением кинетической энергии точки на этом перемещении (рис. 141).

Выберем начало и направление отсчета дуговой координаты S=OM

Укажем в точке М орт касательной , направленный всегда

в сторону увеличения дуговой координаты. Проекция скорости точки на касательную определяется (см. ч. 1, «Кинематика», § 67):

.

Проекция ускорения точки на касательную равна (см. ч. I, «Кинематика», § 73):

или

Воспользуемся основным уравнением динамики:

Спроектируем векторы, входящие в это уравнение, на касательную, вдоль которой направлен орт :

Подставляем в это уравнение значение и умножаем обе части равенства на ds:

(62.1)

Левая часть полученного равенства представляет собой дифференциал кинетической энергии точки, а правая часть является суммой элементарных работ, приложенных к точке сил.

Таким образом,

или (62.2)

Равенство (62.2) показывает, что дифференциал кинетической энергии материальной точки равен сумме элементарных работ сил, приложенных к точке.

Проинтегрируем обе части равенства (62.1) в пределах, соответствующих начальному и конечному положениям точки М₁ и М₂:

Откуда (62.3)

Уравнение (62.3) выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:

Дата добавления: 2014-01-07