Уравнения первого порядка. Определение. Уравнение вида , (4)

Определение. Уравнение вида

,

(4)

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши.

Теорема Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, . Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию: при .

Условия, которые задают значение функции в фиксированной точке , называют начальными условиями (условиями Коши) и записываются в виде:

,

(5)

Задача нахождения решения уравнения, удовлетворяющего некоторому начальному условию, называется задачей Коши.

Определение. Общим решением ДУ первого порядка называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной C.

Уравнения с разделенными переменными:

Опеделение: Дифференциальное уравнение вида:

(6)

называется уравнением с разделенными переменными.

Метод решения данного вида уравнений состоит в интегрировании их левой и правой частей по соответствующим переменным:

(7)

Пример 1. Решить ДУ .

Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируем обе части уравнения:

;

;

, пусть , тогда:

.

Уравнения с разделяющимися переменными:

Определение: Дифференциальное уравнение вида:

,

(8)

где и - непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения таких уравнений носит название разделения переменных. Для этого производная записывается в виде:

.

(9)

Тогда уравнение (8) будет записано в виде:

.

(10)

Умножим обе части уравнения на dx и поделим на :

.

Проинтегрируем левую и правую части:

.

(11)

Пример 2: Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение: Перенесем y в правую часть:

; поделим обе части на x и запишем производную через отношение дифференциалов:

- это уравнение с разделяющимися переменными. Умножим обе части на dx и поделим на y:

. Проинтегрируем обе части уравненя:

;

;

;

;

или .

Пример 3. Найти частное решение ДУ при начальных условиях .

Решение: Запишем производную в виде отношения дифференциалов:

. Разделяем переменные (умножим на dx и поделим на ):

. Проинтегрируем обе части уравнения:

;

; ;;

;.

Найдем частное решение. Чтобы найти C, подставим в общее решение y=1 и x=0:

; .

Частное решение: .

Дата добавления: 2014-01-07