Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

ДУ, в которое в явном виде входит только аргумент и вторая производная :

Уравнение вида:

(31)

решается последовательным интегрированием:

;

.

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка при

Решение: Разрешим уравнение относительно старшей производной:

- это ДУ, в котором в явном виде входит только аргумент и вторая производная. Решаем последовательным интегрированием:

;

.

Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия сначала в первую производную:

; ;

;;

Далее подставим начальные условия и полученное значение в общее решение ДУ:

; ;;

; .

Таким образом получено частное решение:

.

ДУ, в котором в явном виде отсутствует функция :

Уравнение вида:

(32)

решается введением замены вида

.

(33)

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение: Это уравнение, в котором в явном виде отсутствует функция y.

Решаем введением замены: и :

.

- это уравнение с разделяющимися переменными;

;

;

;

;

- неполное уравнение.

.

ДУ, в котором в явном виде отсутствует аргумент :

Уравнение вида:

(34)

решается введением замены вида

.

(35)

Пример 3. Решить ДУ .

Решение: В данном уравнении отсутствует переменная x. Введем замену: и :

;

- неполное уравнение.

;

;

;

;

;

.

Дата добавления: 2014-01-07