Теорема Ферма(о нуле производной)

Лемма.

Если внутренняя точка области определения , то при функция возрастает в точке (убывает).

Доказательство:

По условию

числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Замечание. Лемма доказана для внутренних точек. Если бы речь шла о краевых точках, то лемма тоже сохранялась бы, но возрастание и убывание будут односторонними.

Если функция определена на промежутке и принимает наибольшее (наименьшее) значение в этом промежутке в некоторой точке , то производная в этой точке равна нулю при условии её существования.

Доказательство:

На основе леммы.

Пусть в точке наибольшее значение функции, т.е. (*) для существует производная .

Доказательство от противного: пусть , то по лемме

(1)

Если , то по лемме (2)

(1) и (2) противоречат условию (*)

Дата добавления: 2014-01-06