Функций нескольких переменных

Частные производные и дифференцируемость

Пусть функция z=f (M) определена в некоторой окрестности точки М (x; у). Придадим переменной x в точке М произвольное приращение Δ x, оставляя значение переменной y неизменным, т. Е. перейдем на плоскости от точки М (x; у) к точке M₁ (x+ Δ x; у). При этом Δ x таково, что точка M₁ лежит в указанной окрестности точки М. Тогда соответствующее приращение функции Δ _xz = f (x+ Δ x; у)- f (x; у)

называется частным приращением функции по переменной x в точке М (х; у). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y Δ _yz = f (x; у+ Δ y)- f (x; у).

Определение 1. Если существует предел

то он называется частной производной функции z=f (M) в точке М по переменной x (по переменной y) и обозначается одним из следующих символов:

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

Определение 2. Полным приращением функции z=f (M) в точке М (x; y), соответствующим приращениям Δ x и Δ y переменных x и y, называется функция Δ z = f (x+ Δ x; у+ Δ y)- f (x; у).

Определение 3. Функция z=f (M) называется дифференцируемой в точке M, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

где A и B – некоторые не зависящие от Δ x и Δ y числа, а α (Δ x; Δ y)и β (Δ x; Δ y) – бесконечно малые при Δ x →0, Δ y →0 функции.

Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.

Теорема 1. Если функция z=f (M) дифференцируема в точке M, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2. Если функция z=f (M) дифференцируема в точке M (x; y), то она имеет в этой точке частные производные и , причем

,

Однако в отличие от функции одной переменной, существования частных производных не достаточно для дифференцируемости функции.

Теорема 3 (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z=f (M) имеет частные производные в некоторой δ- окрестности точки M и эти производные непрерывны в самой точке M, то функция дифференцируема в точке M.

Лекция 31

Дата добавления: 2014-01-07