Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида:

,

где - заданные непрерывные функции от х, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, а соответствующее ему уравнение:

- линейным однородным.

Если и - какие-нибудь два линейно независимых частных решения однородного дифференциального уравнения второго порядка, то его общим решением служит функция:

_.

Функции и называются линейно независимыми, если при постоянных и тождество выполняется тогда и только тогда, когда Если же хотя бы одна из них отлична от нуля, а тождество возможно, то эти решения и называются линейно зависимыми.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения:

,

где - частное решение неоднородного, а - общее решение однородного уравнения.

Пусть требуется решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

,

в котором и - постоянные величины.

Найдём частные решения дифференциального уравнения в виде . Тогда , . Подставив выражения , и в исходное уравнение, получим:

.

Так как , то получим уравнение

,

которое называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Таким образом, является частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если - корень характеристического уравнения.

В зависимости от дискриминанта корни характеристического уравнения могут быть:

1) действительными и различными , тогда частные решения и , а общее решение:

,

2) действительными и равными , тогда частные решения и , а общее решение:

,

4. комплексными , , тогда частные решения и _, а общее решение:

_.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:

,

в котором и - постоянные величины, находится как:

,

где - частное решение неоднородного, а - общее решение однородного уравнения.

,

Общее решение однородного уравнения, как известно, находится с помощью характеристического уравнения, а частное решение неоднородного уравнения находится в зависимости от вида функции .

5. Если есть многочлен -ой степени:

,

в частности, многочлен второй степени (), то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) при и ;

б) при и ;

в) при и неоднородное дифференциальное уравнение принимает вид: , решение которого находится непосредственным двукратным интегрированием, т.е. , затем, .

2. Если - показательная функция, т.е. (), то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) , если коэффициент не является корнем характеристического уравнения, т.е. ;

б) , если коэффициент является однократным корнем характеристического уравнения, т.е. ;

в) , если коэффициент является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е. .

3. Если - тригонометрическая функция, т.е. , то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) , если ;

б) если , а .

Лекция 41.

Дата добавления: 2014-01-07