Дифференциальные уравнения первого порядка. Виды уравнений

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: или . Его общее решение содержит одну произвольную постоянную С: .

Дифференциальные уравнения первого порядка иногда удобно записывать и в виде:

.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Если функции и разлагаются на множители: , а , тогда уравнение вида:

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предположив, что , и разделив обе части первого уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными:

,

которое интегрируется:

.

Вычисление полученных интегралов и дает общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Функция называется однородной функцией измерения () относительно аргументов х и у, если равенство справедливо для любого , при котором функция определена.

Если , то функция будет однородной нулевого измерения .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, еслии - однородные функцииот х и у одинакового измерения, т.е. Действительно, переписав его в виде: легко заключаем, что - однородная функция нулевого измерения, поскольку:

Так как однородное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде то, положив , получим:

Данное уравнение решается с помощью замены и сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно х и новой функции :

. Отсюда следует: . Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, находят общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка:

называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции у и ее производной , где и - непрерывные функции от х.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если , в противном случае оно неоднородное.

Линейное дифференциальное уравнение можно проинтегрировать методом Бернулли, суть которого заключается в следующем. Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций и по формуле (подстановка Бернулли). Тогда Подставив выражения для у и у’ в линейное дифференциальное уравнение, получим:

,

которое преобразуем к виду:

.

Так как , то интегрирование данного вида уравнения сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными:

и

Найдя общее решение из первого уравнения, а затем и из второго уравнения, придем к общему решению линейного уравнения: .

Дифференциальное уравнение

где , называется уравнением Бернулли.

Путем введения новой функции по формуле, откуда , уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно этой функции:

Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение можно решить с помощью подстановки Бернулли

Лекция 37,38, 39, 40.

Дата добавления: 2014-01-07