Дифференциальные уравнения I порядка

Дифференциальные уравнения.

Понятие о дифференциальном уравнении.

Теория дифференциальных уравнений широко используется в естествознании и технике. В частности, при решении многих физических задач приходится находить неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными.

С формальной точки зрения задача решения дифференциального уравнения есть задача, обратная дифференцированию. Однако в теории дифференциальных уравнений приходится не только интегрировать заданное дифференциальное уравнение для отыскания искомой функции, но и зачастую по условию той или иной задачи составлять это уравнение и затем решать его.

Дифференциальным называют такое уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входит не только сама функция, но и ее производные.

Если неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным, если же – функцией нескольких переменных, то – дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок наивысшей производной (или дифференциала), входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком уравнения.

В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка можно записать так:

.

Например, есть дифференциальное уравнение второго порядка.

Любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением или интегралом этого уравнения.

Решение дифференциального уравнения (если оно существует), в котором число произвольных постоянных равно порядку уравнения, называется общим решением данного дифференциального уравнения.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка записывается так:

.

Решения дифференциального уравнения при определенных значениях произвольных постоянных называется частным решением. Условия, которым должно удовлетворять искомое частное решение данного дифференциального уравнения, называются начальными условиями. Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши.

Так как каждое частное решение данного дифференциального уравнения есть некоторая функция одной переменной, то в прямоугольной системе координат на плоскости этому решению соответствует некоторая линия. Она называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Общему же решению дифференциального уравнения соответствует множество всех интегральных кривых этого уравнения, которое называется семейством интегральных кривых дифференциального уравнения.

Лекция 34,35

Дата добавления: 2014-01-07