Энергия твердых тел. Идеальный фононный газ

Абсолютно черное тело

Рассмотрим замкнутый объем V, в котором находится равновесное излучение и некоторое тело. Определим энергию, которая падает на единицу поверхности тела за единицу времени. Так как энергия равновесного излучения переносится фотонами со скоростью с, то за время dt на поверхность dS тела попадет энергия из объема сdtdS. При этом на поверхность тела попадет только 1/6 часть энергии, находящейся в этом объеме. Если в интервале от ω до ω + dω энергия всего излучения будет

E(ω)dω = (4Vħ/Π²с³)(ω³dω/(e ^ħω/kT - 1)), то в единице объема она будет E(ω)dω/V

И тогда за единицу времени на единицу площади тела в заданном интервале частот попадет энергия

cE(ω)dω/6V = e(ω)dω= 2ħω²dω/3Π²с²(e ^ħω/kT – 1)

Из этой энергии часть будет поглощена поверхностью тела

e(ω)dωA(ω) – энергия, поглощенная единицей поверхности за единицу времени

A(ω) – поглощательная способность тела

Кроме того за единицу времени с единицы площади поверхности излучается энергия I(ω)dω.

I(ω) – излучательная способность тела, или спектральная плотность излучения

Так как тело находится в равновесии с излучением, то сколько излучилось, столько и поглотится.

I(ω)/A(ω) = e(ω) = 2ħω³/3Π²с²(e ^ħω/kT – 1)

Закон Кирхгофа для теплового излучения: I(ω)/A(ω)- универсальная функция и не зависит от тела.

Абсолютно черное тело - тело, для которого A(ω) = 1. Солнце – это почти абсолютно черное тело.

I(ω) для а.ч.т. = e(ω) = 2ħω³/3Π²с²(e ^ħω/kT – 1)

При температуре T = 6000K цвет абсолютно черного тела – красно-рыжий. При малых частотах, когда ħω<<k e(ω) будет

e(ω) = 2ħkTω²/3Πс²ħ

Эта формула была получена из классической электродинамики Рылеем и Джинсом и получила название ультрафиолетовой катастрофы. Максимальная интенсивность излучения происходит при частоте ω_m, именно она определяет цвет тела. Чтобы определить ее, надо приравнять к нулю производную

[3ω²/(e ^ħω/kT – 1)] – [ħω³e ^ħω/kT /kT(e ^ħω/kT – 1) ²] = 0

[3(e ^ħω/kT – 1)] – [ħωe ^ħω/kT /kT] = 0

ħω /kT = x

3(e^x - 1) - xe^x = 0

ħω_m/kT = const

ω_m ≈ T

Закон Вина: с ростом T частота максимального излучения растет.

Определим полную энергию излучения

E = ∫e(ω)dω = (2/3) ∫ħω³dω/Π²с²(e ^ħω/kT – 1) = GT⁴

G – постоянная Стефана-Больцмана

Закон Стефана и Больцмана: полная энергия излучения абсолютно черного тела пропорциональная четвертой степени ее абсолютной температуры.

Твердое тело состоит из атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки. Часть электронов этих атомов отрывается от них и образует идеальный электронный газ. Идеальный электронный газ описывается с помощью зонной теории, которая предполагает, что твердое тело – это некоторый ящик размером с твердое тело, в котором находится идеальный электронный газ. Взаимодействие электронов с кристаллической решеткой учитывается наличием запрещенной зоны энергии у электронов и заменой их массы на эффективную. Однако такое рассмотрение возможно, только если ионы кристаллической решетки образуют неподвижную периодическую структуру. На самом деле ионы кристаллической решетки твердого тела совершают колебания, которые распространяются вдоль твердого тела в виде волн, которые называются звуком.

Рассмотрим энергию этих колебаний. Для этого по аналогии с электромагнитной волной, где фотон – реальная частица, введем виртуальную частицу – фонон. Фонон – это такая частица, энергия которой равна ħω, где ω – частота звуковых колебания, а скорость звука V_s = ω/k.

Таким образом, звуковые колебания решетки мы можем представить в виде фононного газа, и тогда в качестве модели твердого тела можно рассматривать ящик, в котором находится идеальный электронный газ и фононный газ. Так как в твердом теле может одновременно существовать несколько одинаковых звуковых волн, то фононы – это бозе-частицы. Так как звуковые волны не взаимодействуют между собой, то фононный газ – это идеальный газ. В условии термодинамического равновесия происходит излучение и поглощение звуковых волн, то есть изменяется число фононов, а энергия звуковых колебаний остается постоянной. Поэтому, как и в случае фотонов, химический потенциал фононного газа равен нулю. Среднее число фононов с энергией E_l = ħω_l будет

<N_l> = 1/e ^ħω/kT- 1

Определим среднее число фононов, частота которых лежит в интервале от ω до ω + dω. Повторяя выводы § 2.3

f(ω)dω = g(ω)dω/(e ^ħω/kT- 1)

g(ω) = (4V/Π²)(ω²/V_s ³)

Однако в отличие от фотонного газа частота звуковых колебаний не может быть бесконечно большой и определяется числом степеней свободы. В твердом теле число собственных звуковых волн равно числу степеней свободы. Если твердое тело состоит из N атомов, то таких степеней будет 3N. То есть в твердом теле возможно только 3N различных частот звуковых колебаний. Это позволяет определить максимальную частоту излучений.

3N = ∫ρ(ω)dω = (4Vω_D³/3Π³V_s ³)

ω_D = [9NΠ²V_s ³/4V]^1/3

Энергия звуковых волн в заданном интервале

e(ω)dω = ħω(ρ(ω)dω/(e ^ħω/kT- 1)) = 4Vħω³dω/Π²V_s ³(e ^ħω/kT- 1)

А полная энергия будет

E = ∫e(ω)dω = (4Vħ/Π²V_s ³)(kT/ħ)⁴ ∫x³dx/(e^x-1)

Рассмотрим область высоких температур kT>>ħω_D. При этом условии величина x лежит в интервале 0≤x≤ ħω_D/kT≤1. Поэтому x можно разложить в ряд

E = (4Vħ/Π²V_s ³)(kT/ħ)⁴ ∫x³dx/(e^x-1) = (4Vħ/Π²V_s ³)(kT/ħ)⁴ (9ħNΠ²V_s ³/12kTV) = 3NkT

Рассмотрим область температур kT<<ħω_D. В этом случае верхний предел стремится к бесконечности.

E = (4Vħ/Π²V_s ³)(kT/ħ)⁴ ∫x³dx/(e^x-1) = 6T⁴

Дата добавления: 2014-01-07