Теорема о равномерном распределении. Многоатомный идеальный газ

Идеальный одноатомный газ. Энергия и уравнения состояния

Рассмотрим идеальный одноатомный газ в классическом приближении. Полная энергия газа будет

E = ∑E_i

Здесь используется то, что газ идеальный, так как не учитывается энергия взаимодействия между молекулами. Так как газ одноатомный, то

E_i = mV_i²/2

<E> = ∑<E_i>

<E_i> = m<V_i²>/2

В § 2.7 было показано, что <V_i²> = 3kT/m

<E_i> = 3kT/2

<E> = ∑3kT/2 = 3Nkt/2

Определим среднее давление идеального газа. Как известно, давлением называется

P = F_x/ds

F_x = dP_x/dt

P = m V

Как известно, при упругом столкновении частицы массой m со стенкой ее проекция импульса изменяется на величину 2mV_x. За время dt с поверхностью dS столкнутся все частицы, которые находятся в цилиндрическом объеме.

VdSdt cons = dSdtV_x

Так как в единице объема системы число частиц N/V, то за dt с поверхностью столкнется NV_xdSdt/V частиц. При каждом столкновении импульс меняется на 2mV_x, поэтому полное изменение импульса за dt будет

dP_x = (N/V)2mV_x²dSdt

F_x = dP_x/dt = (N/V)2mV_x²dS

P = F_x/dS = (N/V)2mV_x²

<P> = ∫(N/V)2mV_x²W₁(V_x)dV_x = (N/V)m<V_x²>

<V_x²> = 3kT/m

<V²> = <V_x²> <V_y²><V_z²> = 3<V_x²>

<V_x²> = kT/m

<P> = (N/V)(mkT/m) = NkT/V - уравнение состояния идеального одноатомного газа

<P>V = NkT = (m₀/M)N_AkT = (m₀/M)RT – уравнение Менделеева

Рассмотрим идеальный газ, молекула которого состоит из “n” атомов. Тогда общая энергия газа будет E = ∑E_i

Энергия одной молекулы будет

E_i = E_k + E_n

E_k – кинетическая энергия молекулы

E_n – потенциальная энергия молекулы

Потенциальная энергия определяется энергией взаимодействия атомов в молекуле. Определим вклад в общую энергию системы от одной степени свободы в системе. На одну степень свободы в кинетической энергии системы приходится mV_x²/2 энергии, где m – масса атома. Тогда средний вклад будет

<mV_x²/2> = m< V_x²>/2 = mkT/2m = kT/2

То есть на одну степень свободы приходится kT/2 кинетической энергии. Рассмотрим вклад в потенциальную энергию системы, приходящуюся на одну степень свободы. Будем считать, что потенциальная энергия атомов в молекуле является квадратичной функцией координат. Тогда вклад в потенциальную энергию от одной степени свободу будет b₁x².

<b₁x²> = b₁<x²>

<x²> = ∫ x²W₁(x)dx

W₁(x) – плотность вероятности, определяется распределением Больцмана

W₁(x) = c₇e^(-b₁x²/kT)

Постоянный коэффициент можно найти из условия нормировки

c₇ = (b₁/ПkT)^1/2

<x²> = (b₁/ПkT)^1/2 ∫ x²e^(-b₁x²/kT)dx = kT/2b₁

Тогда средний вклад в потенциальную энергию на одну степень свободы будет

<b₁x²> = kT/2

Теорема о равномерном распределении: на каждую степень свободы потенциальной и кинетической энергии системы приходится вклад kT/2.

Рассмотрим зависимость полной средней энергии системы от температуры. При достаточно низких температурах вращательные и колебательные степени свободы молекул не возбуждаются. Поэтому при низких температурах молекула газа обладает лишь тремя степенями свободы, определяющими движение ее центра масс. Средняя энергия одной молекулы будет 3kT/2, то есть три степени свободы вносят вклад в кинетическую и потенциальную энергии 2NkT/2.

При увеличении температуры возбуждаются вращательные степени свободы, которые тоже вносят вклад в кинетическую энергию. Вращательных степеней свободы у всех молекул три, кроме линейных и двухатомных. Тогда вклад в кинетическую энергию от вращательной степени свободы будет 3NkT.

Оставшиеся степени свободы приходятся на колебательное движение. Каждой колебательной степени свободы соответствует kT/2 кинетической и колебательной энергии.

Дата добавления: 2014-01-07