Линейные многомерные системы управления

Одна из наиболее типичных задач при управлении технологическими процессами — синтез многомерных систем управления. Если рассматриваемая модель процесса линейная, то ее можно представить в виде следующей системы уравнений в пространстве состояний (во временной области):

(1)

(2)

где х — n -мерный вектор состояний, d — l -мерный вектор возмущений, u — m -мерный вектор управлений, у — k -мерный вектор наблюдений, а матрицы А, В, С и Г соответствующих размерностей в общем случае могут зависеть от времени:

Эта модель системы в пространстве состояний будет являться основой для последующего анализа.

Выпишем аналитическое решение уравнений (1), (2).

В случае автономной системы (матрицы А, В, С и Г не зависят от времени) можно воспользоват6ся преобразованием Лапласа

Разрешая полученные уравнения в преобразованиях относительно x(s), найдем

Возвращаясь к оригиналам, с помощью теоремы о свертке получим для x(t) выражение

где— экспоненциал матрицы А, определяемый как решение однородного матричного линейного дифференциального уравнения

X — матрица размерности nxn.

Если все собственные числа матрицы А различны, существует каноническое преобразование, приводящее ее к диагональному виду

есть диагональная матрица собственных чисел А; М — матрица собственных векторов. Подставив (6) в (5), получим

Решение последнего уравнения определяется легко:

откуда

, где

есть диагональная матрица.

В случае неавтономной системы (матрицы А, В, С и Г зависят от времени) решение (1) — (2) имеет вид

где (nxn)-матрица Ф(t, to), называемая фундаментальной матрицей системы (1) — (2), определяется как решение матричного дифференциального уравнения

(12)

Дата добавления: 2014-01-07