Обчислення площ у полярній системі координат

Нехай у полярній системі координат є крива, задана рівнянням

, (1.7)

де -– неперервна функція при .

Обчислимо площу сектора , обмеженого кривою і променями , (рис.6)

Рис.6

Розіб’ємо сектор на частин променями , , ,…, , . Позначимо через кут між проведеними променями і , а через – довжину радіус-вектора точки, що відповідає деякому куту , такому, що . Розглянемо круговий сектор з радіусом і центральним кутом , його площа дорівнює . Сумуючи ці площі для всіх значень (), отримаємо площу ступінчастої фігури

.

Ця сума є інтегральною для функції на відрізку ; її границя при є визначеним інтегралом

. (1.8)

Приклад 1.4. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою .

á Складемо таблицю значень функції для окремих значень аргумента

і по цих точках побудуємо наближено кардіоїду.

Оскільки кардіоїда, очевидно, симетрична відносно полярної осі, то її площа дорівнює подвоєній площі її верхньої половини і обчислюється:

.

Дата добавления: 2014-01-07