Обчислення довжини дуги у декартовій системі координат

Обчислення довжини дуги кривої

Нехай крива на площині задана рівнянням . Знайдемо довжину дуги цієї кривої, обмеженої прямими , (рис.7).

Рис.7. Знаходження довжини дуги

Виберемо на послідовно точки з абсцисами відповідно та проведемо хорди , , …, ,…, , довжини яких позначимо ,,…,,…,. Одержимо ламану лінію, вписану в дугу ; її довжиною є

. (2.1)

Означення 2.1. Довжиною дуги називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої частини прямує до нуля, тобто .

(Тут і надалі ми припускаємо, що така границя існує).

Теорема 2.1. Якщо на відрізку функція та її похідна неперервні, то довжина дуги кривої , обмеженої та , обчислюється згідно з формулою

. (2.2)

ÿ Як видно з рис.7, згідно з теоремою Піфагора

.

Згідно з теоремою Лагранжа маємо

, де .

Отже, . За умовою теореми функція неперервна, тому неперервною є і функція , звідки випливає, що існує скінчена границя

.n

Приклад 2.1. Обчислити довжину дуги лінії від точкидо точки.

á Знайдемо і, підставляючи у (2.2), дістанемо

.

Дата добавления: 2014-01-07