Подобие фронтов и годографов волн

Рис. 4.5.

Уравнение фронта волны запишем в виде

Помня, что sin i является функцией только переменной j, обозначим

t /r ^{1 - m} = F (φ, φ ₀, r/ r ₀ ) (41)

Введём новые переменные:

R = r / r ₀, (42)

T = t / r ₀ ^{1- m}

Где r ₀ - радиальная координата источника, постоянная величина, тогда получим:

T / R ^{1- m} = F (φ, φ ₀, R)

или T = R ^{m- 1} F(φ, φ ₀, R) (43)

r ₀ - не входит в уравнение поля времён (43). Так как r ₀ = const в формуле (42), то преобразования (42) являются линейными преобразованиями. Уравнение поля времён (42)является инвариантным относительно линейных преобразований (42). Это означает, что все поля времён, центры которых расположены на одной радиальной прямой φ = const, в рассматриваемых средах подобны друг другу (рис. 29). Допустим, что мы вычислили некоторое поле времён t ₁ (r ₁, φ) с источником в точке r ₀ = r ₀₁, φ = φ ₀.

Введём новые координаты:

T = t ₁ / r ₀₁^{1 - m},

R = r ₁ / r ₀₁.

Такое поле времён T(R, φ) численно совпадает с полем времён, источник которого расположен в точке r ₀₁ = 1, φ = φ ₀ на той же радиальной прямой φ = φ ₀. Чтобы вычислить поле времён с источником в любой другой точке, например r ₀ = r ₀₂, лежащей на той же радиальной прямой φ = φ ₀ нужно перейти к старым переменным при значении r ₀ =r ₀₂ то есть выполнить следующие линейные преобразования или:

r ₂ = r _{0 2} R = (r _{0 2} / r _{0 1} )r ₁ - (44)

t ₂ = r _{0 2} ^{m- 1} T = (r _{0 2} / r _{0 1} ) ^{1 – m} t ₁

Для того чтобы получить уравнение системы годографов на поверхности среды в уравнении поля времён (32)нужно положить φ = 0 (источники на поверхности) φ ₀ = 0 (приёмники на поверхности). Получим:

t = r ^{1- m} F( 0, 0, r / r ₀ ) = r ^{1 - m} T (r / r ₀ )

Или если перейти к координатам (31) R = r /r ₀, T = t / r ₀ ^{1 - m}, то получим

T = R ^1-m T(R) (45)

Уравнение инвариантно относительно линейных преобразований (42). Следовательно, все годографы на поверхности среды подобны друг другу.

Дата добавления: 2014-01-07