Решение линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим ЛДУ второго порядка:

(75)

Легко показать подстановкой в (75), что решением ЛДУ будет сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения данного ЛДУ:

(76)

Здесь: - частные решения ЛОДУ, составляющие его фундаментальную систему решений;

- частное решение ЛДУ (75).

Покажем теперь, что решение (76) есть общее решение ЛДУ (75), так как оно содержит в себе все частные его решения. Для этого зададимся произвольными начальными условиями: Покажем, что подбором постоянных можно удовлетворить любым начальным условиям. Для этого составим систему уравнений:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных - определитель Вронского , следовательно, неизвестные константы для выбранных начальных условий определяются однозначно и решение (76) –общее.

Дата добавления: 2014-01-07