Метод вариации Лагранжа нахождения частного решения ЛДУ

Пусть дано уравнение (75) с известным общим решением соответствующего ему ЛОДУ: Полагаем, что - две новые неизвестные функции. Частное решение ЛДУ будем искать в виде: Для нахождения двух неизвестных функций необходимо сформулировать два условия, выражаемые дифференциальными уравнениями. Одно условие может быть произвольным, а вторым условием является требование, чтобы искомое решение удовлетворяло данному ЛДУ. Продифференцируем частное решение:

В качестве первого произвольного условия принимаем простейшее. Пусть

Тогда:

Подставляем выражения для в ЛДУ (75) и после некоторой перегруппировке его членов получим:

Первые две скобки равны нулю как результат подстановки решения в уравнение. Поэтому, для нахождения неизвестных функций получим систему уравнений:

(77)

Определитель из коэффициентов при неизвестных функций совпадает с определителем Вронского и отличен от нуля, поэтому решение системы (77) - единственное.

Дата добавления: 2014-01-07