![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема. Если непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке
Если Замечание. a) Определенный интеграл – это число. Понятие определенного интеграла вводится через предел интегральных сумм. b) Неопределенный интеграл - это функция. Понятия неопределенного интеграла вводится через понятие первообразной.
Свойства определенного интеграла:
1) Если 2) Постоянный множитель выносится за знак определенного интеграла
3) Определенный интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций 4) Аддитивное свойство. Отрезок интегрирования можно разбивать на конечное число частей. 5). 6). Если поменять местами пределы интегрирования, определенный интеграл изменит знак
7). Теорема о среднем: Если
Определенный интеграл с переменным верхним пределом:
Зафиксируем нижний предел в определенном интеграле, а верхний сделаем изменяющимся. Чтобы не смешивать переменную интегрирования с верхним пределом обозначим ее Тогда определенный интеграл станет функцией своего верхнего предела. Если х дать приращение Применим теорему о среднем к
Теорема: Производная определенного интеграла от непрерывной функции с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции.
Доказательство:
Формула Ньютона – Лейбница где F(x) - какая-либо первообразная для f(x) – непрерывная.
Примеры: Þ 1). 2). 3). 4). Положим Замена переменных в определении интеграла: Пусть надо вычислить
Причем 1) 2) F В этом случае справедлива формула: формула аналогична правилу замены переменной в неопределенном интеграле, но здесь надо не забыть заменить старые пределы После замены пределов интегрирования возвращение к переменой
Пример: Замена:
Пример: вычислить площадь эллипса
Поэтому будем вычислять площадь четверти эллипса Замена:
Интегрирование по частям:
Примеры:
1).
2).
3).
Вычисление площадей 1. Площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси ОХ: 2. Площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси ОУ: 3. Площадь фигуры криволинейной трапеции заданной кривой в параметрическом виде: для случая (1): для случая (2): 4. Площадь сектора отнесенного к полярной системе координат. Рассмотрим элементарный круговой сектор обе эти суммы при мах. Пример: 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х=1
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубическими параболами: Т.к. площадь не может быть отрицательным, то берем модуль S=16 3.вычислить площадь, ограниченную астроидой:
- 4.Вычислить площадь ограниченную петлей декартового листа: Перейдем к полярной системе координат:
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 581; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |