Лекция 6-7. Линейные операторы. Пространства линейных операторов. Обратные операторы. Сопряженные операторы

Изложены основы теории линейных операторов. Приведены теоремы Банаха об обратном операторе и о замкнутом графике. Рассмотрены виды сходимости в пространстве линейных операторов, а также теоремы о продолжении линейного оператора по непрерывности. Большое внимание уделено обратным и непрерывно обратимым операторам, сопряженным операторам и основам теории нормально-разрешимых операторов.

Линейные операторы. Оператор где , – банаховы пространства, называется линейным, если: 1) область определения оператора линейное многообразие; 2) для любых и любых чисел

Область значений линейного оператора является линейным многообразием

Оператор называется непрерывным в точке если при

Теорема 1. Пусть банаховы пространства Если оператор непрерывен в точке, то он непрерывен в любой точке

В самом деле, из следует, что если , то Ттогда при .

Отметим, что линейный оператор ограничен, если множество ограничено. Отсюда следует, что если ограничен, то для любого

Теорема 2. Линейный оператор ограничен, тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть оператор ограничен. Покажем, что Пусть Тогда С другой стороны Отсюда имеем

Пусть верно неравенство Покажем, что ограничен. В самом деле, в частности, при имеем Это, означает, что для любых Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть банаховы пространства, Оператор непрерывен, тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство. Необходимость. Пусть непрерывен. Покажем, что ограничен. Предположим противное, т.е. неограничен. Тогда существует такой, что Пусть Так как то при Так как оператор непрерывен, то при С другой стороны, Из полученного противоречия следует, что оператор ограничен. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ограничен. Покажем, что непрерывен. Из ограниченности оператора, имеем Оотсюда при получим Это означает, что оператор непрерывен в точке Тогда согласно теореме 1, оператор непрерывен в любой точке Достаточность доказана. Теорема доказана.

Пространства линейных операторов. Пусть , , , … – линейные операторы, определенные в банаховом пространстве со значениями в банаховом пространстве . На множестве линейных операторов введем операции сложения и умножения на число по правилу:

1)

2)

Можно показать, что для множества линейных операторов выполнены все аксиомы линейного пространства. Введем норму элемента, Заметим, что величина является наименьшей из констант в неравенстве (см. теорему 2.). Очевидно, что

а) если то нулевой оператор;

б)

в)

Отсюда имеем, Выполнены все аксиомы нормы. Полученное нормированное пространство линейных непрерывных операторов действующих из в , обозначим через

Пусть дана последовательность линейных операторов Говорят, что при равномерно, если при т.е. сходимость по норме пространства

Теорема 4. Пусть . Для того, чтобы при (равномерная сходимость), необходимо и достаточно, чтобы при равномерно по

Доказательство. Необходимость. Пусть при . Покажем, что при равномерно по Ппоскольку где при , то при . Ииз , следует, что при где –любое число. Тогда для любого и для любого Это означает, что сходимость к равномерно в . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть , равномерно по , т.е. при Покажем, что при . Так как то согласно определению нормы линейного оператора, имеем для любого Отсюда имеем . Достаточность доказана. Теорема доказана.

Легко убедиться в том, что если , , то , равномерно по где ограниченное множество в

Теорема 5. Пусть нормированное, банахово пространство. Тогда пространство линейных операторов банахово.

Доказательство. Пусть фундаментальная последовательность. Покажем, что любая фундаментальная последовательность , т.е. , для любых и любых натуральных сходится к элементу .

Рассмотрим последовательность Ззаметим, что

при для любого натурального числа Это означает, что последовательность фундаментальна. Так как –банахово пространство то Остается показать, что .

Легко убедиться в том, что –линейный оператор. Покажем, что ограничен. Действительно, из фундаментальности числовой последовательности т.е. следует, что ограничена. Следовательно, Тогда Отсюда переходя к пределу при , получим Это означает, что –линейный ограниченный оператор . Теорема доказана.

Определение 1. Говорят, что последовательность сильно сходится к элементу, если , для любого

Заметим, что если равномерно, то сильно. В самом деле, из оценки следует, что при , при . Иными словами, из равномерной сходимости в следует сильная сходимость в . Ооднако, обратное утверждение в общем случае, неверно.

Лемма 1. Если последовательность равномерно ограничена в замкнутом шаре, т.е. то числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть Тогда для любого . Справедлива оценка

.

Отсюда имеем , Следовательно, Лемма доказана.

Теорема 6. (Принцип равномерной ограниченности) Пусть , – банаховы пространства. Если ограничена при каждом фиксированном то ограничена.

Доказательство. Пусть ограничена при каждом . Покажем, что ограничена. Предположим противное т.е. числовая последовательность неограничена. Тогда последовательность не ограничена ни в каком замкнутом шаре. Отметим, что если то согласно лемме было бы ограничена . Ииз неограниченности следует, что существуют замкнутые шары такие, что и на имеет место неравенство где . Поскольку – банахово пространство, то по теореме вложенных шаров найдется точка . такая, что Это означает что последовательность не ограничена. Это противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Теорема 7. (Теорема Банаха-Штейнгауза). Пусть , – банаховы пространства, последовательность . Для того чтобы сильно, необходимо и достаточно чтобы

1) последовательность была ограничена;

2) сильно, на линейном многообразии плотном в

Доказательство. Необходимость. Пусть сильно. Покажем, что ограничена. Поскольку сильно, то согласно определению имеем Отсюда следует, что Следовательно ограничена. Тогда по принципу равномерной ограниченности, последовательность ограничена. В частности, последовательность ограничена на Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ограничена и сильно на Покажем, что , сильно на Пусть Так как плотно в то найдется точка такая, что Поскольку ограничена, ограничена, то существует число Тогда

Так как , сильно на , т.е. , , , то , , . Следовательно, , , . Тогда , , сильно, в силу того, что . Теорема доказана.

Пусть , , – банаховы пространства, , плотно в . Оператор ограничен на , если норма оператора .

Теорема 8. (Теорема о продолжении линейного оператора по непрерывности). Пусть , –банаховы пространства, – линейный оператор, ограниченный на , , , Тогда существует линейный ограниченный оператор такой, что

1) , , ;

2) , где определен на всём

Доказательство. Пусть – произвольная точка. Так как плотно в , то найдется последовательность , при .

Определим оператор на всем пространстве так: . Покажем, что требуемое распространение оператора на всё Действительно, если то Так как то фундаментальна т.е. при Заметим, что Отсюда следует, что последовательность фундаментальная. Так как банахово пространство, то существует

Покажем, что линейный оператор. Действительно, если где то при . Тогда

Покажем, что Пусть Тогда Переходя к пределу и учитывая непрерывность нормы, получим Отсюда следует, что Однако

Из неравенств имеем Теорема доказана.

Обратные операторы. Пусть , – банаховы пространства, –линейный оператор с областью определения область значений (иногда вместо применяется обозначение ).

Говорят, что оператор обратимым, если для любого уравнение имеет единственное решение. Если обратим, то каждому элементу можно найти единственный элемент являющийся решением уравнения . Оператор осуществляющий это соответствие, называется обратным к и обозначается Множество называется множеством нулей оператора (иногда вместо применяется обозначение и называется ядром линейного оператора ).

Отметим, что:

1. Оператор обратный линейному оператору , также линеен. Действительно, если то Тогда Так как оператор линеен, то Следовательно, по определению обратного оператора. Отсюда следует, что Это означает, что линеен.

1. Оператор переводит в взаимно однозначно тогда и только тогда, когда (либо ).

Пусть . Покажем, что оператор переводит в взаимно однозначно. Предположим противное т.е. образу соответствует два прообраза где Тогда Это означает, что

Пусть взаимно однозначен. Покажем, что . Предположим противное т.е. Пусть Пусть , . Тогда и Отсюда следует, что образ имеет два прообраза Это противоречит тому, что оператор взаимно однозначен.

Определение 2. Говорят, что линейный оператор непрерывно обратим, если:

а) оператор обратим т.е. существует линейный оператор

б) т.е. оператор ограничен.

Теорема 9. Для того чтобы существовал ограниченный в обратный оператор необходимо и достаточно, существования постоянный и для любого выполнения неравенства

(1)

Доказательство. Необходимость. Пусть ограниченный в оператор. Покажем, что выполнено неравенство (1). Так как , то из существования следует, что Поскольку ограничен, то Отсюда имеем где Следовательно, . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено неравенство (1). Покажем, что существует ограниченный в оператор . Если т.е. то из (1) имеем, Отсюда следует, что Тогда оператор переводит в взаимно однозначно (см. выше п.2.). Это равносильно тому, что существует обратный оператор отображающий взаимно однозначно на . Далее, из (1) при получим Это означает, что оператор ограничен. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Из теоремы 9 при имеем: Оператор непрерывно обратим тогда и только тогда, когда , .

Лемма 2. Пусть –всюду плотное множество в банаховом пространстве . Тогда любой ненулевой элемент можно разложить в ряд

где и

Доказательство. Пусть . Последовательность строим следующим образом: элемент выберем так, чтобы элемент определим так, чтобы и т.д. выберем так, чтобы Такой выбор возможен, в силу того, что множество плотно в . Заметим, что при . Отсюда следует, что ряд сходится к . Нормы элементов удовлетворяют неравенствам:

Лемма доказана.

Теорема 10. (Теорема Банаха об обратом операторе). Если –ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство на банахово пространство , то обратный оператор ограничен.

Доказательство. Так как оператор взаимно однозначно отображает банахово пространство на банахово пространство , то существует линейный обратный оператор . Покажем, что ограничен т.е.

ведем в банаховом пространстве множества где – любое натуральное число. Тогда т.е. любой элемент принадлежит некоторому Согласно теореме Бэра банахово пространство является множеством II категории т.е. любое множество нельзя представить в виде объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Отсюда следует, что хотя бы одно из множеств плотно в некотором шаре Пусть множество плотно в шаре Рассмотрим шаровой слой

Перенося начало координат в точку получим шаровый слой Покажем, что в плотно некоторое множество Пусть Тогда и норма

где –целая часть числа. Отсюда следует, что множество плотно в в силу того, что плотно в .

Для любого элемента можно найти число такое, что Тогда Так как плотно в то найдется последовательность такая, что Отсюда следует, что последовательность сходится к Заметим, что если то и в силу того, что В самом деле, из следует, что Поскольку – произвольный элемент, , , то множество плотно в Следовательно, плотно в .

Пусть , произвольный элемент. Согласно лемме 2 элемент где Прообразы элементов элементы причем Рассмотрим ряд Норма Следовательно, ряд сходится. Так как линейный ограниченный оператор т.е. непрерывный и ряд сходится, то Отсюда, имеем и Это означает, что оператор ограничен. Теорема доказана.

Определение 3. Прямой суммой двух линейных пространств и называется совокупность пар для которых, если и скаляры, то Норма в вводится так

Определение 4. Графиком оператора , – банаховы пространства, называется совокупность пар где

Определение 5. Линейный оператор называется замкнутым, если его график является замкнутым множеством в . Иными словами, замкнутость графика оператора означает, что если и то и

Отметим, что:

1) Пусть , – банаховы пространства, . Если и

то замкнут. В самом деле, если и при то в силу непрерывности оператора . Отсюда из единственности предела следует, .

2) Если замкнут и существует, то также замкнут. Поскольку множество замкнуто, множество