Лекция 8. Функциональные пространства

Приведены сведения о гильбертовых, сопряженных, рефлексивных пространствах. Рассмотрены конкретные банаховы и гильбертовы пространства встречающихся в теории экстремальных задач.

Гильбертовы пространства. Пространство со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в норме, порожденный скалярным произведением. Гильбертовы пространства обозначают буквой

Теорема 1. (Теорема Ф. Рисс). Пусть гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала заданного всюду на существует единственный элемент такой, что причем где скалярное произведение элементов

Доказательство. Пусть множество Если то Тогда В этом случае, можно принять Итак,

Пусть Тогда существует элемент Не умаляя общности, можно считать, что Действительно, в противном случае вместо можно взять Тогда Легко убедиться в том, что элемент В самом деле,

Так как то скалярное произведение

Отсюда имеем

Если принять то Таким образом, установлена взаимно однозначное соответствие между элементами пространств и

Покажем, что Поскольку в силу неравенства Коши-Буняковского, то по определению нормы функционала. Так как то Тогда

Докажем единственность Предположим, что кроме существует другой элемент Тогда Отсюда имеем Тогда Следовательно, Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что пространство, сопряженное к гильбертову пространству «совпадает» с Тогда Если то где самосопряженный оператор.

Сопряженные пространства. Пусть банахово пространство, числовая ось. Пространство линейных ограниченных функционалов, заданных на называется сопряженным к и обозначается

Таким образом, банахово пространство (см. теорему 5, лекция 6, где банахово). Значение линейного ограниченного функционала на элементе равно

Отметим, что:

1) Если то

2) Если то

3)

4) Сходимость по норме если

5) Слабая сходимость слабо, если

6) Принцип равномерной ограниченности: если ограничена при каждом то ограничена (см. теорему 6, лекция 6);

7) Теорема Банаха-Штейнгауза: для того чтобы слабо, необходимо и достаточно, чтобы:

а) была ограничена;

б) на плотном в линейном многообразии.

Рефлексивные пространства. Пусть банахово пространство, сопряженное пространство (банахово). Сопряженное к пространство банахово. Пространство банахово и т.д.

Теорема. Если банахово пространство, то изометрично вложено в

Доказательство. Отметим, что изометрично вложено в если где Пусть Значение функционала на элементе равно Теперь рассмотрим случай, когда фиксирован, а меняется. Тогда каждому ставится в соответствие определенное число Заметим, что элементу ставится в соответствие число

Справедливо неравенство Отсюда следует, что определяет заданный всюду в линейный ограниченный функционал такой, что

где С другой стороны, из следствия 1 теоремы Хана-Банаха (см. лекция 4) следует, что существует функционал такой, что Тогда Следовательно, Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-07