Выпуклость, вогнутость графика функции

Тема: Достаточные условия существования локального экстремума. Выпуклость, вогнутость графика функции. Асимптоты графика. Полное исследование поведения функции.

Лекция № 12

Первая доврачебная помощь при вывихах

1. Обезболить.

2. Провести транспортную иммобилизацию поврежденной конечности (с помощью шин или фиксирующей повязкой к телу).

3. Доставить пострадавшего в лечебное учреждение.

Вывихи должны вправляться врачом. Только при его отсутствии или в полевых условиях мелкие вывихи можно вправить самому, но без применения силы.

Теорема 1: (достаточные условия локального экстремума).

Если функция непрерывная в окрестности и имеет производную в окрестности этой точки: () справа от, т.е. и () слева от, т.е., то точка – есть точка локального минимума (максимума) функции.

Доказательство:

Рассмотрим функцию: в правой окрестности, для неё выполнены условия теоремы Лагранжа { имеет производную в этой окрестности, тогда },

Т.е., где. Так как справа от. Аналогично для левой полуокрестности этой точки:. Т.е. функция имеет в точке локальный минимум. Аналогично для максимума. #

Теорема 2: Если функция имеет и в окрестности точки и, (), то точка – есть точка локального минимума (максимума) для функции в.

Доказательство:

Если в окрестности тогда и – непрерывная функция в окрестности точки. Пусть () возрастает (убывает) в точке и т.к., то слева от неё, справа. Тогда по предыдущеё теореме в функция имеет локальный минимум (соответственно локальный максимум). #

Определение 1. Говорят, что кривая графика функции обращена в точке выпуклостью вверх (вниз), если касательная к графику функции в точке лежит выше (ниже) графика функции.

Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую и вогнутую части графика функции называется точкой перегиба графика функции.

Теорема 3: (Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика).

Если функция имеет в точке, которая непрерывна в этой точке, тогда кривая графика функции является выпуклой при и вогнутой, если.

Доказательство:

Представим функцию в виде формулы Тейлора в окрестности точки:,,

где последнее слагаемое есть остаточный член формулы Тейлора. Наряду с этой формулой рассмотрим уравнение касательной к кривой графика функции в точке:. Рассмотрим разность полученных выражений:

Таким образом, имеем:.

Первое неравенство верно, если, второе верно, если. Так как непрерывная функция в точке, то в некоторой её окрестности знак функции сохраняется, т.е., если или, если. Далее из теоремы о порядковых свойствах пределов, получаем утверждение данной теоремы, т.е. (). #

Следствие: (необходимое условие точки перегиба). Если и непрерывна в точке и эта точка является точкой перегиба графика функции, то

Теорема 4: (Достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки и или она, также вторая производная меняет знак при переходе через эту точку тогда она является точкой перегиба графика функции.

Доказательство:

Пусть меняет знак при переходе через точку:

а). с «–» на «+», т.е.:;:. Тогда по Теореме 3 имеем: кривая графика функции – выпуклая и вогнутая т.е. является точкой перегиба графика функции. Аналогично, в случае, если меняется знак с «+» на «–». #

Дата добавления: 2014-01-07