Задачи для самостоятельного решения. Общая схема исследования функции и построения графика

Общая схема исследования функции и построения графика

Лекция №18

Исследование функции производится по следующему плану:

1. Нахождение области определения функции.

2. Исследование простейших свойств:

а) нахождение точек пересечения с осями координат,

б) определение наличия свойств четности или нечетности,

в) определение наличия периодичности.

3. Нахождение асимптот:

а) вертикальных,

б) наклонных.

4. Нахождение первой производной.

5. Нахождение критических точек первого рода.

6. Вычисление второй производной.

7. Нахождение критических точек второго рода.

8. Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками первого и второго рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.

9. Исследование поведения функции на полученных промежутках:

а) возрастание, убывание функции,

б) вогнутость, выпуклость графика.

10 Исследование поведения функции в критических точках первого и второго рода.

а) экстремумы,

б) точки перегиба.

11. Построение графика функции по результатам исследования.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Выполним все операции предложенной выше схемы исследования.

1. Функция не определена при и . Область определения функции.

2. Простейшие свойства.

а) Если , то . График пересекает оси координат только в одной точке .

б) Функция является четной, так как

Следовательно, график ее симметричен относительно оси .

в) Функция непериодическая.

3. Асимптоты.

а) Вертикальные асимптоты появляются при и :

, ,

, .

б) Для нахождения наклонных асимптот находятся пределы:

,

Имеется наклонная (горизонтальная) асимптота при .

4. Первая производная равна

.

5. Единственная критическая точка первого рода является стационарной точкой . Значение функции в стационарной точке равно .

6. Вторая производная равна

.

7. Критические точки второго рода отсутствуют.

8. Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки первой и второй производной и находим знаки первой и второй производной в каждом промежутке:

9. Полученные результаты используются при построении графика функции.

Пример 2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график

y = x ³ / 2 (x+ 1)².

Решение. 1. Найдем область определения функции.

Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, х+ 1= 0; х = -1. Таким образом,

D (y) = (-.

2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О (0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность

Очевидно, что у (-х) ¹ у (х) и у (-х) ¹ -у (х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой вычислим пределы справа и слева при от функции f (x):

= -; = -.

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+b при

k = 1/2;

Таким образом, прямая с уравнением у=х/ 2 - 1 является асимптотой при . Те же самые значения пределов для k и b получим и при , поэтому найденная прямая является асимптотой и при .

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции .

=.

Критическими точками являются х = 0, х = -3, при которых = 0 и, х = -1, где производная функции не существует. При > 0 функция возрастает, при < 0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

.

Точкой, где может менять знак, является точка х = 0, следовательно, х = 0 является точкой перегиба. Если < 0, функция выпукла, при > 0 - вогнута.

7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы.

8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой

(рис. 21).

Таблица 1.

x	(-¥,-3)	-3	(-3,-1)	-1	(-1,0)		(0,∞)
	+		-	Не сущ.	+		+
	-		-	Не сущ.	-		+
f (x)	Возр., вып.	Max y= - 27/4	убыв., вып.	Не сущ.	возр., вып.	Точка перег.	Возр., вогн.

Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1. Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в нуль, т.е. при

,.

Следовательно,

.

2. Определим точки пересечения графика с координатными осями. Единственной такой точкой будет O (0,0).

3. Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность. Имеем

,

следовательно f (x)- нечетная.

При исследовании функции можно ограничиться значениями х ³0, а затем продолжить функцию, пользуясь свойством нечетности (график симметричен относительно начала координат).

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.

а) Вертикальные асимптоты.

, .

Следовательно, - вертикальная асимптота.

б) Наклонные асимптоты

,

.

Таким образом, прямая y = x – наклонная асимптота.

5. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную.

Критическая точка первого рода:.

Точки не могут быть точками экстремума, так как они не входят в область определения функции.

6. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную.

Существует одна критическая точка второго рода:.

Найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости, и точки перегиба. Результаты исследования оформим в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.

Таблица 2.

x							(3,∞)
	-		-	Не сущ.	-		+
	+		-	Не сущ.	+	+	+
f (x)	Убыв., вогн.	Т. П. f =0	Убыв., вып.	Не сущ.	Убыв., вогн.	Min f =4,5	Возр., вогн.

Используя полученные результаты, строим график, функции, предварительно нанеся на чертеж точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и асимптоты.

Рис. 22.

Пример 4. Исследовать функцию и построить график.

Решение. 1. Функция всюду определена:.

2. Не обладает свойством четности и нечетности.

3. Точки пересечения с осями

.

4. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные:

Функция имеет наклонную асимптоту

у = - х+ 2/3.

5. Ищем критические точки первого рода.

.

6. Ищем критические точки второго рода.

=

Таблица 3.

х	()		(0;4/3)	4/3	(4/3;2)		(2;)
	-	н.с.	+		-	н.с.	-
	-	н.с.	-		-
y				max		т.п. у=0

7. На основании вышеизложенного строим график.

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Ответ: функция возрастает при (0,), функция убывает при (-,-2).

Найти экстремумы функций:

2. -.

Ответ: при , -25 при .

3. при (0,).

Ответ: при .

4. .

Ответ: -при -1.

5. Показать, что график функции не имеет экстремумов.

6. Найти асимптоту графика функции .

Ответ: .

7. Найти асимптоты графика функции -1.

Ответ: , .

Дата добавления: 2014-01-07