Это выполняется когда направления противоположны

б) Произведение двух комплексных чисел получается по правилу умножения многочленов, учитывая, что i² = -1:

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

(6)

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей: .

Доказательство:

z₁ = (a, b); z₂ = (c, d);

₌ ; ₌ ;

В показательной форме:

в) Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению:

В алгебраической форме для нахождения частного двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, нужно делимое и делитель умножить на число, сопряженное с делителем:

Пример: Вычислить:

Пусть числа z ₁ и z ₂ заданы в тригонометрической форме (6). Найдём модуль и аргумент частного. По определению:

и .

Отсюда: и .

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

или

г) Возведение комплексных чисел в натуральную степень.

Целая положительная степень комплексного числа определяется так же, как и действительного: . Т.е. возведение комплексного числа в целую положительную степень является распространением правила умножения комплексных чисел на случай, когда все множителей одинаковы. В алгебраическом представлении возведение комплексного числа в n -ую степень производится по алгебраическим правилам перемножения многочленов.

Например:

и т.д. В общем случае:

.

В тригонометрическом представлении модуль n -ой степени комплексного числа равен n - ой степени модуля исходного комплексного числа, а аргумент n -ой степени комплексного числа получается посредством умножения на аргумента исходного комплексного числа. В итоге получается формула Муавра:

.

Пусть число z задано в тригонометрической форме: .

Отсюда:

.

Рис. 4

В показательном представлении операции с модулями и аргументами комплексных чисел при делении совпадают с таковыми при делении в тригонометрическом виде:

.

В показательном представлении имеем:

.

Таким образом, комплексное число z0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из вышеприведенной формулы. Следует отметить, что все значения корня лежат на окружности радиуса ρ = и делят окружность на n равных частей

Пример.1. Вычислить . Запишем число z =1+ i в тригонометрическом виде. Здесь = ,

tg= 1; ; z =(рис. 4).

Пример 2. Вычислить .

Запишем число в тригонометрическом виде, учитывая при этом, что , , .

Произведя по указанным правилам возведение в двенадцатую степень комплексного числа, имеем

Пример 3. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

Заметим сначала, что . Таким образом,

.

Значит, .

д) Извлечение корня.

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое число w (w=), что wⁿ=z.

Пусть числа z и w представлены в тригонометрической форме:

и

Найдём ρ и q. Так как

Поэтому: ρ = - арифметическое значение корня из положительного числа r, а q =(k=). Т.о.

или

Значение q_к, дающие существенно различные значения корня n -ой степени из z соответствуют только n значениям k (0,1,2,… n -1). Остальным целым k соответствуют значения q_k, отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2 π.

Проверить, например, что w_n = w ₀!

Таким образом, комплексное число z0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из этих формул. Из формул вытекает, что все значения корня лежат на окружности радиуса ρ = и делят окружность на n равных частей.

Пример 1: Вычислить . Запишем число в тригонометрической форме:

Рис.5.

Пример 2: Вычислить . Запишем число в показательной форме:

Рис. 6.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решим систему по правилу Крамера. Найдем

Таким образом,

.

Значит, решением системы будет пара комплексных чисел , .

Пример 3. Найти комплексное число , удовлетворяющее уравнению , и записать его в алгебраической и тригонометрической формах.

Раскрывая скобки в левой части и приводя подобные члены, получим , откуда

.

- это найденное число в алгебраической форме.

Найдем , тогда тригонометрическая форма числа будет иметь вид: .

комплексного числа

Использование формулы Эйлера =позволяет перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к показательной или экспоненциальной форме:

,

где =- модуль комплексного числа, а угол (). В силу формулы Эйлера функция является периодической с основным периодом .

Пример 4. Записать комплексное число ί в показательном виде.

Решение: . Поэтому ί=.

Пример 5. Найти произведение комплексных чисел и , предварительно перейдя к тригонометрическому представлению.

Решение: ,

.

.

В показательном представлении операции с модулями и аргументами комплексных чисел при делении совпадают с таковыми при делении в тригонометрическом виде:

.

Возведение комплексного числа в целую положительную степень является распространением правила умножения комплексных чисел на случай, когда все множителей одинаковы. В алгебраическом представлении возведение комплексного числа в n -ую степень производится по алгебраическим правилам перемножения многочленов с учетом того, что

.

В тригонометрическом представлении модуль n -ой степени комплексного числа равен n - ой степени модуля исходного комплексного числа, а аргумент n -ой степени комплексного числа получается посредством умножения на аргумента исходного комплексного числа. В итоге получается формула Муавра:

.

В показательном представлении имеем:

.

Таким образом, комплексное число z0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из вышеприведенной формулы. Следует отметить, что все значения корня лежат на окружности радиуса ρ = и делят окружность на n равных частей.

Пример 6. Вычислить .

Решение: Запишем число в тригонометрической форме: , , .

Поэтому , .

При имеем

, .

При имеем

, .

При имеем

, .

При имеем

, .

Дата добавления: 2014-01-07