Примеры решения задач

Задача 74. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, имеющей биномиальное распределение.

Решение. Случайная величина X - число появлений “успеха” в n независимых испытаниях – есть сумма n независимых случайных величин, , где X_i - число появлений “успеха” в i -м испытании,

i = 1, 2, …, n. Но закон распределения величины X_i очень прост, это множество . Отсюда M (X_i) = 0× q+ 1× p= p; M () = M (X_i) = p; D (X_i) = p - p² = pq. Поэтому

Задача 75. Сколько игральных кубиков надо бросить, чтобы математическое ожидание числа кубиков, на которых выпало одно очко, равнялось 5?

Решение. Пусть брошено n кубиков. Число кубиков, на которых выпало одно очко, - биномиально распределенная случайная величина X с пара-

метрами n и p = 1/6, M (X) = n /6. По условию n /6=5, тогда n = 30.

Задача 77. Корректура в 500 страниц содержит в среднем 1300 опечаток. Считая применимым закон Пуассона, найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице и вероятность этого числа.

Решение. Условие задачи нужно понимать так: случайная величина Х – количество опечаток на некоторой странице текста – распределена по закону Пуассона с параметром λ - средним числом опечаток на странице. Значение параметра одинаково для всех страниц, поэтому среднее число опечаток на пятистах страницах равно произведению 500 λ. Нужно приравнять 500 λ числу 1300, откуда λ = 2,6.

Вычислим вероятности событий р (Х = 0), р (Х = 1),…:

Ясно, что следующие вероятности будут только убывать, поэтому наиболее вероятное число опечаток на одной странице (мода случайной величины Х) равно 2, вероятность этого числа равна 0,251.

Дата добавления: 2014-01-07