Основные понятия. Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды

Лекция 23.

Основные понятия. Основные свойства числовых рядов. Положительные ряды. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. Степные ряды.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел . Символ

обозначаемый , называется числовым рядом или просто рядом, а числа - членами числового ряда. Суммы конечного числа членов ряда , …,называются частными суммами (или отрезками) числового ряда. Рассмотрим последовательность . Если существует предел , то числовой ряд называется сходящимся, а число - суммой этого ряда. В этом случае пишут

= = .

Если же последовательность не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Пример 1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии :

.

Если , то

== .

Если прогрессия бесконечно убывающая, т.е. , то

= =.

Это означает, что при ряд расходится и его сумма равна .

При получаем ряд 1+1+1+…+1+…. Тогда = и =, т.е. при ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Очевидно, что .

Поэтому = =, откуда

= .

Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1.

Дата добавления: 2014-01-07