Положительные ряды

Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.

1) Признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда

= (1)

= (2)

Если выполняется условие , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда, а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

В примере 2 мы доказали, что ряд сходится. Так как , то по признаку сравнения ряд также сходится.

2) Признак Даламбера. Если члены положительного ряда таковы, что существует предел , то при ряд расходится, а при сходится.

Пример 6. Рассмотрим ряд . Для этого ряда , . Тогда

=0.

По признаку Даламбера ряд сходится.

3) Интегральный признак Коши. Пусть члены положительного ряда такие, что где функция при непрерывна, положительна убывает. Тогда данный ряд и несобственный интеграл

сходится или расходится одновременно.

Пример 7. Рассмотрим ряд .

Функция , , удовлетворяет условиям, указанным в интегральном признаке. Исследуем интеграл

Следовательно, ряд сходится при и расходится при .

Дата добавления: 2014-01-07