Случаи понижения порядка

Укажем два случая, когда ДУ второго порядка

(*)

приводится к ДУ первого порядка.

2.1. Пусть уравнение (*) имеет вид

.

Полагая и , получим ДУ первого порядка

,

где роль независимой переменной играет .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Полагаем , . Тогда уравнение примет вид , .

Отсюда либо , т.е. , либо , т.е. и , откуда . Следовательно, , и . Тогда .

2.2. Пусть уравнение (*) имеет вид

Полагая и , получим уравнение первого порядка с неизвестной функцией .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Полагаем и .

Тогда , или . Полученное уравнение является однородным ДУ 1-го порядка. Сделаем замену и следовательно , а уравнение принимает вид

,

,

,

.

Интегрируя, получим и, следовательно , и .

Тогда , , откуда .

Дата добавления: 2014-01-07