КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Зонная структура твердых тел. Зоны Бриллюэна для кубических и генксагональных кристаллов
Зоны Бриллюэна вводятся в пространстве обратной решетки для определения минимального объема , которое содержит все значения компонент в.в.; отвечающих физически неэквивалентным состояниям электрона в зоне (из-за периодичности в.ф).
Линейная одномерная решетка: 1-зоной Бриллюэна называют интервал значений: 2-зона симметрично расположена вокруг в интервале и -интервал Первая -называется приведенной , т.к. любой можно состояние привести в и наоборот учитывая периодичность энергии в -пространстве. Т.е рассматривание состояний электрона в решетке можно ограничить , а другие исключить, т.к они содержат другие эквивалентные состояния (физические) ”0„ -центр зоны Двухмерная (плоская) решетка Размеры между трансляциями Комп. в.в. ; ; ; ; -число атомов Средний вектор для состояния: Все компоненты отвечающие неэквивалентным физическим постоянным, заключены в пределах первой зоны Бриллюэна с и - тоже прямоугольная плоская решетка в К - пространстве.
Трехмерный кристалл Простой куб ---- обратная решетка ---- зона Бриллюэна ↓ ↓ Куб куб с объемом Гранецентрированная ОЦК→усеченный октаэдр (куб) Зона Бриллюэна
Минимальный по объему многогранник построенный симметрично относительно центра − точки =0 и включающей все возможные неэквивалентные физические состояния для электрона в кристалле.
Основные точки в зоне Бриллюэна п/п Г, X, L
Минимумы энергии электронов в зоне проводимости п/п с алмазной решеткой и решеткой сфалерита лежат в центре − точки =0 − ”Г„ в направлениях [111] − ”X„ точка и [100] − ”L„ точка.
2.4 Эффективная масса электрона в кристалле, её связь со структурой энергетических зон. Понятие дырки. Динамика электрона в периодическом поле изитропных и анизотропных кристаллов.
Эффективная масса носителей заряда в телах
В кристалле на электрон действуют огромные силы со стороны кристаллического поля U(),которые превосходят по величине внешние силы со стороны электрических и магнитных полей. Поэтому для описания динамики электрона под действием внешних полей с использованием законов механики для свободного электрона ввели понятие эффективной массы − m* В эффективную массу m*”упрятали„ все внутренние силыЭлектроны в кристалле ускоряются только под действием внешних сил и m* связывает силу и ускорение . Введем m*: E − закон дисперсии − непрерывная функция в пределах имеющая экстремуму в различных точках . пусть в точке − находится экстремум функции E. Разложим в ряд Тейлора функцию Eвблизи малой окрестности E=E()+ в точке , где: − вторая производная по векторному аргументу =тензору второго ранга. Запишем Eв форме аналогичной для свободного электрона: E()=, где − массасвободного электронаE=E()+, где − тензор обратной эффективной массы − размерность. Обратной массы, т.к. размерность квазиимпульса совпадает с размерностью импульса. () − материальная константа веществапоэтому главные оси тензора обратной массы совпадают с главными осями (основными) симметрией кристалла. Запишем тензор () в главных осях, при этом = = [], где − главные значения тензора обратной эффективной массы. Запишем закон дисперсии в главных значениях тензора обратной эффективной массы: E()=E()+,где: − кинетическая энергия электрона проводимости, имеющая разные массы по направлениям . Величина 1:= − компоненты эффективной массы по направлениям . Понятие m* − неформальное,т.е m* позволяет описывать динамику электрона в периодическом поле под действием внешних сил, но только для энергий в узком интервале, вблизи экстремумов в зоне.
О знаке m* В близи минимума энергии в зоне (дно зоны) тензор обратной эффективной массы имеет положительный знак (), то эффективная масса электрона − положительна (), в близи максимума энергии в зоне (потолок зоны) −( ) − отрицательный знак, поэтому эффективная масса электрона отрицательна (). Т.о у потолка зоны электрон будет как частица с отрицательной массой, что означает, что он ускоряется против направления действия внешней силы. Электрон с заменяют квазичастицей с положительным зарядом =и положительной массой равной массе электрона. Такая частица ускоряется нормально − по направлению силы − называют дыркой
Анизотропный и изотропный квадратичные законы дисперсии Введение m* позволяет записать в квадратичной форме законы дисперсии E() для кристаллов различной симметрии, но вблизи экстремальных значений энергии, где справедливо понятие m*. Анизотропный закон дисперсии E() − эффективная масса − тензор. Положим , E(),то E()= Изотропный закон дисперсии − характерен для прямозонных п/п, для электронов вблизи точки () − эффективная масса (скалярная величина). E()= (1: ), − изотропная величина Анизотропный закон E() − характерен для электронов в зоне проводимости непрямозонных п/п. E()= Оси x, y, z − главные оси симметрии кристалла и тензора обратной эффективной массы. Поверхности равной энергии E( )=const или E( )=const Используется для описания зонной структуры кристаллов наряду с законом дисперсии. E()=const − поверхность второго порядка(трехосный эллипсоид) пусть экстремум E лежит в точке E()=E()+() Запишем уравнение E()=const в канонической форме: =1 a, b, c − полуоси эллипсоида a=; b=; c= Если − имеем эллипсоид вращения. Если − то поверхность E()=const − сфера (тензор вырождается в скалярную величину). Физические свойства кристалла в этом случае изотропные, а в предыдущем случае анизотропные. Динамика электронов в периодич. поле кристалла Для описания динамики электрона используют классическую функцию Гамильтона, заменив импульс на квазиимпульс: = E()+V() E() − кинетическая энергия V() − потенциальная энергия
Скорость электрона V( ) в разрешенном − состоянии энергетической зоны Используем уравнение Гамильтона для скорости: т.е. () − есть градиент энергии V() − V()= значение () совпадает с групповой скоростью волнового пакета, отчего движение квантовой частицы с энергией и импульсом = − равна квантовомеханической средней скорости Особенности движения V() определяется градиентом E(), поэтому вектор скорости () направлен по нормали к изоэнергетической поверхности E() = const Если − тензор, то () и не совпадают по направлению. Вектор () и совпадают по направлению, если - скаляр, т.е. для свободного электрона.
Особенности движения электрона у краев зон У краев энергетических зон энергия электрона принимает экстремальные значения (E min и E max). Поэтому , т.е. электрону соответствует не бегущая волна (волна Блоха), а стоячая, при значениях происходит отражение электронных волн от границ зоны Бриллюэна. При приближении электрона к границе электронная волна тормозится решеткой и отражается. Стоячая электронная волна не участвует в переносе энергии. Скорость является нечетной функцией волнового вектора =, поэтому средняя скорость по всей зоне будет равна нулю. =(интегрируем в симм. пределах) Т.о. при движении электронов, при отсутствии внешнего электрического поля не будет переноса зарядов, т.е. не будет возникать электрический ток. Ускорение электрона в кристалле можно определить, как изменятся скорость во времени: Предположим, эффективная масса это , найдем -компоненту ускорения; Энергия от t зависит через зависимость от t, поэтому: Вывод: при тензорной эффективной массе электрон под действием в направлении получает ускорение в направлении . Направления ускорения и силы будут совпадать, если направлена вдоль главных осей тензора обратной эффективной массы. Если эффективная масса- скаляр, то ускорение будет получать электрон всегда по направлению силы: это соотношение для тензора справедливо для значений массы, равной Особенности динамики электрона в кристалле связаны с одновременным действием внешней силы и кристаллического поля на электрон, обладающего волновыми свойствами.
Физический смысл понятия эффективной массы Нарисуем графики: E(); ; При и наблюдается отклонение E() от квадратичной зависимости, вследствие того, что с ростом энергии увеличивается волновой вектор электрона, длина электрона (*) уменьшается и становится сравнимой с межплоскостным расстоянием, что приводит к Брэгговскому отражению электронных волн от атомных плоскостей – с ростом возрастает доля отраженной волны, а затем торможение при (**) скорость v: в пределах от доэлектрон движется как свободный. при - скорость достигает максимального значения, а затем в следствии торможения решеткой, падает до нуля. Этому соответствует смена знака с плюса на минус. Затем электрон отражается от точки к точки и снова движется в прежнем направлении, т.е. электрон совершает периодические движения во внешнем электрическом поле. Вывод: эффективная масса в отличие от обычной массы не постоянна, она не является мерой инерции и не связана с силами тяготения.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 642; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |