Модель эволюции цен акций

Задача Марковица

Рассмотрим модель инвестирования в акций. Из всех допустимых портфелей , ожидаемая доходность которых равна заданному уровню , инвестора интересует портфель с минимальным риском, определямым его дисперсией . Формально задача имеет вид:

Воспользовавшись формулами (6.4), (6.5) запишем задачу Марковица:

(6.16)

Это задача оптимизации с нелинейной целевой функцией и ограничениями. Для ее решения можно использовать различные методы. Будем искать решение используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Целевая функция

.

В точке экстремума производные равны нулю:

(6.17)

Найдем эти частные производные:

Приравниваем производные нулю:

В матричной форме записи

А- симметричная матрица :

; ; .

Решая систему уравнений в матричном виде получаем решение:

Так как в векторе ненулевыми являются только два последних элемента, а в векторе нас интересуют первые координат, портфель инвестиций определяется блоком обратной матрицы из строк и последних двух столбцов. Действительно, для любого

(6.18)

Изменяя значения желаемой доходности, мы всегда получаем оптимальный портфель, а вместе с ним и минимальное СКО, ему соответствующее. Таким образом, это позволяет нам построить границу области допустимых точек на плоскости “риск-доходность”.

Пример 6.2.Инвестиции возможны в акции трех типов. Известна ожидаемая доходность и матрица ковариации, надо найти вектор: Тогда матрица и ее обратная имеют размер 5х5: По формуле (6.18) находим Пусть доходность портфеля 20%, то есть . Тогда Найдем риск портфеля инвестиций по формуле (6.16). В матричной форме

Заметим, что если в портфель инвестиций включается безрисковый актив с доходностью , задача решается аналогично. Нас будут интересовать портфели , где - доля капитала, инвестированного в безрисковый актив с нулевым риском и нулевой ковариацией .

Если взглянуть на графики цен акций, то видно, что их поведение носит стохастический характер. Значение цены акции в момент времени является случайной величиной. Если к тому же рассмотреть эволюцию цены акции во времени , то она определяет некий случайный процесс.

Сначала рассмотрим простейшую модель эволюции цены, когда рассматриваются цены только в начале и конце периода. Предполагается, что цена акции может либо вырасти с коэффициентом либо упасть с коэффициентом Если обозначить начальную цену акции то в конце единичного периода она может быть либо либо (Рис. 6.6). Пусть - коэффициент роста при инвестировании в безрисковый актив.

(6.19)

Обозначим - вероятность того, что цена возрастет. Тогда - вероятность падения цены.

Если инвестор нейтрален к риску, для него эквивалентно инвестирование денег в покупку акции или в безрисковый актив одной и той же доходности. Это значит, что выполнено равенство:

.

После сокращения получим:

. (6.20)

Отсюда найдем .

Дерево возможных эволюций цены для трех периодов приведено на рис. 6.7.

Результат каждого периода мы можем охарактеризовать случайной величиной

Рассмотрим случайную величину - количество периодов из общего их числа , когда цена растет. Такая случайная величина имеет биномиальное распределение:

.

Следовательно

(6.21)

Предположим, что задается некоторый критичный уровень цены акции после периодов , ниже которого она не должна опуститься.

,

где - наименьшее значение количества периодов возрастания цены акции.

,

отсюда

(6.22)

В расчетах используется - ближайшее целое, не превосходящее

Тогда вероятность того, что в момент времени цена акции превосходит заданный уровень :

(6.23)

Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание случайной величины, имеющей биномиальное распределение равно

Следовательно, математическое ожидание цены акции через периодов

(6.24)

Пример 6.3.Необходимо получить прогноз будущей цены акции через 5 лет. Известно, что цена акции в течение каждого года может либо подняться на 25%, либо упасть на 20%, в то время как безрисковый актив дает 12% годовых. Требуется определить вероятностьтого, что цена акции в конце пятого года будет больше 1800 рублей, если текущая цена 1000 рублей. Параметры биномиальной модели будут следующими: Сначала определим вероятности, нейтральные к риску. Подставив заданные параметры в (7.23) получим Соответственно Тогда искомая вероятность находится по формуле (6.23) Для данного примера распределение случайной величины легко получить по формуле (6.21)

	0,002	0,022	0,114	0,292	0,376	0,194

Биномиальная модель удобна при небольшом количестве периодов, но при росте их числа становится громоздкой. В этом случае используют аппроксимацию биномиального распределения нормальным законом.

, (6.25)

где - функция Лапласа. Для этой функции имеются таблицы.

Пример 6.4.Необходимо (как в примере 6.3) получить прогноз цены акции через 5 лет. Какова вероятность того, что цена акции в конце пятого года будет больше 1800 рублей при условии, что начальная цена 1000 рублей. Ежемесячно цена либо увеличивается на 1,9%, либо уменьшается на 1,8%. При этом безрисковая ставка в месяц составляет 0,95%. Эти данные соответствуют примеру 6.3, но количество периодов резко выросло. Параметры задачи: Нейтральные к риску вероятности По формуле (7.23) найдем критическое значение Аргумент функции Лапласа равен Используем таблицу Лапласа

Дата добавления: 2014-01-15