Биномиальная модель оценки стоимости опционов

Допустим, что цена акции в момент времени есть случайный процесс, изменения которого происходят согласно биномиальной модели эволюции цен, построенной в п. 6.5. Это означает, что в течение каждого периода независимо от других периодов цена акции либо возрастает в раз с вероятностью либо уменьшается в раз с вероятностью Вероятности и являются нейтральными к риску и определяются по формулам (7.5). Тогда распределение случайной величины задано формулой (6.22).

Рассмотрим европейский колл-опцион на данную акцию с ценой исполнения и моментом исполнения Обозначим через доход покупателя колл-опциона на дату погашения Это и будет цена колл-опциона в момент времени Случайная величина зависит от цены базового актива:

(7.12)

Тогда справедливой ценой опциона будет математическое ожидание случайной величины , дисконтированное по безрисковой процентной ставке:

(7.13)

или

(7.14)

Найдем наибольшее целое значение, при котором выполнено условие по формуле

. (7.15)

Тогда формулу (7.14) можно переписать

Обозначим тогда подставляя значение (7.5) получим . В итоге получаем

(7.16)

Введем обозначение для дополнительной функции биномиального распределения

.

Тогда формулу (7.16) можно переписать

(7.17)

Пример 7.5.Текущая цена акции 1500 рублей. Известно, что к концу периода она может либо подняться на 25%, либо опуститься на 20%. Определим цену пятипериодного европейского колл-опциона на одну акцию, если цена его исполнения равна 3000 рублей, а безрисковая процентная ставка составляет 10%. Итак, . Найдем критическое значение по формуле (7.15) округляем до меньшего целого, то есть Далее определяем вероятности: По формуле (7.16) найдем

Так как в формуле цены колл-опциона (7.17) используются только вероятности биномиального распределения, из нее можно получить более удобную формулу, если произвести предельный переход при и воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа. При достаточно больших дополнительная функция биномиального распределения приближается дополнительной функцией нормального распределения с параметрами и

где функция Лапласа.

Таким образом, зная зависимость величин и от переменной , для оценки вероятности достаточно вычислить предел:

. (7.18)

Тогда

Будем предполагать, что известны численные оценки логарифмической средней и волантильности динамики цены акции:

(7.19)

время погашения колл-опциона на эту акцию.

В формуле (7.17) две вероятности для одинакового и различных и Вычислим предел (7.18) для различных по отдельности.

Рассмотрим вначале Известно, что

где

Учитывая, что , где непрерывно начисляемая процентная ставка, преобразуем формулу для

.

Введем специальные обозначения:

(7.20)

Тогда и Получаем

(7.21)

Для вероятности в результате преобразований получаем

,

где определяется по формуле (7.20).

Отсюда следует

(7.22)

В формуле (7.16)

, переходим к пределам (7.21) и (7.22). Воспользовавшись тем, что

,

получаем формулу Блэка-Шоулса:

, (7.23)

где и определяются формулой (7.20).

На практике можно применять приближенную формулу

(7.24)

Для определения цены европейского пут-опциона с тем же временем погашения и ценой погашения воспользуемся уравнением связи

.

Подставляя вместо формулу (7.23) получим:

. (7.25)

Пример 7.6.Необходимо найти цену европейского колл-опциона на одну акцию с ценой исполнения 1800 рублей и временем погашения при условии, что текущая цена одной акции равна 1000 рублей, непрерывно начисляемая процентная ставка составляет 11,32%, а темп роста логарифма цены акции имеет среднее квадратическое отклонение 0,22. Таким образом, параметры модели следующие: Сначала определим вспомогательные величины. Следовательно, .   По формуле (7.20) находим значения критических точек и : Подставляя полученные значения в формулу Блэка-Шоулса (7.23), получаем искомую цену европейского колл-опциона: рублей Цена колл-опциона по приближенной формуле (7.24) равна рублей. Найдем цену пут-опциона на ту же акцию рублей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Е. М. Четыркин. Финансовая математика. – М.: Дело, 2002, 400 с.
2. А. В. Летчиков. Лекции по финансовой математике. – Москва-Ижевск: Институт

компьютерных исследований, 2004, 240 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
1.	Проценты
	1.1.	Виды процентных ставок.................................................................................
	1.2.	Наращение по простой процентной ставке....................................................
	1.3.	Дисконтирование по простым процентным ставкам и учет.........................
	1.4.	Наращение по сложной процентной ставке...................................................
	1.5.	Наращение процентов m раз в году................................................................
	1.6.	Дисконтирование по сложной процентной ставке и учет...........................
2.	Типовые задачи
	2.1.	Погашение задолженности частями...............................................................
	2.2.	Наращение и выплата процентов в потребительском кредите....................
	2.3.	Конверсия валюты и наращение процентов..................................................
	2.4.	Инфляция...........................................................................................................
	2.5.	Конверсия платежей.........................................................................................
3.	Потоки платежей
	3.1.	Виды потоков платежей и их основные параметры......................................
	3.2.	Нерегулярные потоки платежей......................................................................
	3.3.	Запаздывающие ренты.....................................................................................
	3.4.	Другие виды рент.............................................................................................
4.	Страхование
	4.1.	Финансовые ренты в страховании..................................................................
	4.2.	Вероятности дожития.......................................................................................
	4.3.	Страхование жизни...........................................................................................
	4.4.	Пенсионное страхование..................................................................................
	4.5.	Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий..........................................
5.	Облигации
	5.1.	Основные понятия............................................................................................
	5.2.	Цена и доходность облигации.........................................................................
	5.3.	Временная структура процентных ставок......................................................
	5.4.	Риск портфеля облигаций................................................................................
	5.5.	Форвардные контракты....................................................................................
6.	Акции
	6.1.	Основные понятия............................................................................................
	6.2.	Портфель инвестиций.......................................................................................
	6.3.	Модель оптимизации портфеля.......................................................................
	6.4.	Задача Марковица.............................................................................................
	6.5.	Модель эволюции цен акций...........................................................................
7.	Фьючерсы и опционы
	7.1.	Фьючерсы..........................................................................................................
	7.2.	Опционы............................................................................................................
	7.3.	Биномиальная модель оценки стоимости опционов.....................................
	Литература..................................................................................................................

Дата добавления: 2014-01-15