Аффинные преобразования пространства

Резюме

Матрица не аффинного преобразования

Продемонстрируем матрицу, которая не сохраняет параллельность прямых (матрицу не аффинного преобразования). Примером может служить простейшая матрица перспективного преобразования, которая будет рассмотрена позже более подробно. Пока что просто покажем, как можно использовать однородные координаты для записи нелинейных преобразований.

| 1 0 0 0 |

M_proj = | 0 1 0 0 |

| 0 0 1 0 |

| 0 0 -1 0 |

| x | | x |

p_proj = M_proj * p = M_proj * | y | = | y |

| z | | z |

| 1 | | -z |

p_proj = (-x / z, -y / z, -1, 1)

Прим. Последняя строка как раз и определяет вид изменений w-координаты исходного вектора.

В этой статье мы ввели основные математические объекты и договоренности о записи, которые понадобятся нам для построения дальнейшей теории. Более сложные объекты, например, кватернионы, будут введены и подробно описаны в отдельной главе.

Далее нам потребуются следующие вещи, непосредственно связанные с матрицами:

• Аффинные преобразования в трехмерном пространстве и их матричная запись.
• Точечные преобразования. Преобразования локальной системы координат. Связь между ними.

При работе с трехмерными объектами, часто требуется совершать по отношению к ним различные преобразования: двигать, поворачивать, сжимать, растягивать, скашивать и т.д. При этом в большинстве случаев требуется, чтобы после применения этих преобразований сохранялись определенные свойства.

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным (от англ. affinity – родство), если

• оно взаимно однозначно;
• образом любой прямой является прямая.

Преобразование называется взаимно однозначным, если

• разные точки переходят в разные;
• в каждую точку переходит какая-то точка.

Свойства аффинного преобразования в трехмерном пространстве:

• отображает n-мерный объект в n-мерный: точку в точку, линию в линию, поверхность в поверхность;
• сохраняет параллельность линий и плоскостей;
• сохраняет пропорции параллельных объектов – длин отрезков на параллельных прямых и площадей на параллельных плоскостях.

Любое аффинное преобразование задается матрицей 3x3 с ненулевым определителем и вектором переноса:

Посмотрим на это с точки зрения математики. R представляет собой матрицу линейного оператора над пространством трехмерных векторов. Вектор T требуется для осуществления параллельного переноса: если помножить (0 0 0) на любую матрицу 3x3, опять получим (0 0 0) – начало системы координат, относительно преобразования R, является неподвижно точкой. Требование, чтобы определитель был ненулевой, диктуется определением. По сути, если определитель матрицы R равен нулю, то всё пространство переходит в плоскость, прямую или точку. Тем самым не соблюдается взаимная однозначность.

На практике удобно задавать аффинное преобразование одной матрицей. При этом используются однородные координаты, введенные в предыдущей статье. Аффинное преобразование будет задаваться следующей матрицей 4x4:

Заметим, что первые три значения последней строки равны 0. Это необходимое условие того, что преобразование будет аффинным. В общем случае произвольная матрица размера 4x4 задает проективное преобразование. Такие преобразования, как можно догадаться из названия, используются для проецирования трехмерной сцены. Подробнее об этом будет рассказано в одной из последующих статей.

Рассмотрим частные случаи аффинных преобразований.

Прим. Здесь и в дальнейшем будет использоваться система координат, введенная следующим образом:

• система координат правая;
• ось z направлена на наблюдателя, перпендикулярно плоскости экрана;
• ось y находится в плоскости экрана и направлена вверх;
• ось x находится в плоскости экрана и направлена вправо.

Подробнее мы остановимся на этом при рассмотрении геометрического конвейера.

Дата добавления: 2014-01-15