Решение. Методы решения задач с помощью аффинных преобразований

Методы решения задач с помощью аффинных преобразований

Задача 36[9]

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Из любого треугольника можно сделать равносторонний. Заметим, что середины сторон перешли в середины сторон и медианы перешли в медианы. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке в силу симметрии. Значит, в исходном треугольнике они тоже пересекались в одной точке.

Требуется обобщить результат задачи 36 на случай не обязательно медиан и не обязательно треугольников.

Следующая задача решается аналогичным образом.

Задача 37[9]

Докажите, что три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Замечание. Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, или отношение площадей, или доказать параллельность. Причем в условии задачи не должно быть дано ничего такого, что не сохраняется при аффинных преобразованиях. Например, если в задаче дано точное значение какого-то угла, то, скорее всего, эта задача не решается методом аффинных преобразований.

Задача 38[9]

На сторонах треугольника поставлены точки, которые делят эти стороны в отношении . А именно, на стороне поставлена точка , на — точка , на — точка , и , , . Площадь треугольника равна 1. Чему равна площадь треугольника ?

Задача 39[10]

Докажите, что медианы треугольника .

Подсказка Превратите треугольник в правильный и используйте поворот вокруг центра на .

Задача 40[10]

Докажите, что медианы треугольника, образованного прямыми , , из предыдущей задачи, пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника .

Задача 41[10]

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Задача 42[11]

На сторонах AB, BC, CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L, M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d — прямые, проходящие через B,C,D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.

Источник: ru.wikibooks.org

Дата добавления: 2014-01-15