Метод решения линейного однородного д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами

(11),

где – const.

, где и – линейно

независимые решения (11). Будем искать частное решение (11) в виде , , . Тогда получим , .

Опр. Уравнение (12)
называется характеристическим уравнением для д.у.(10).

Т.о., если удовлетворяет (12), то является решением д.у. (11). Рассмотрим решения (12):

а) , и , – решения (11). Т.к. и линейно независимые решения, то – общее решение (11).

ПР. ,

б) и ,

, иначе и линейно зависимы. Будем искать , , . Подставим в (11), получим: , , т.к. – корень уравнения (12). , т.к. или (любое u такое, что ). Т.о., если и , .

ПР. .

в) .

Вставка про комплексные числа.

Опр. Мнимой единицей называется такое число i, что .

Опр. Выражение вида , где , i – мнимая единица, называется комплексным числом.

Опр. Числа называются комплексно сопряженными.

Арифметические действия с комплексными числами производятся, как с многочленами, с учетом того, что .

Если для квадратного уравнения , то его корни имеют вид .

Итак, если для характеристического уравнения (12) , ,, , где и – комплексные функции действительного аргумента. Очевидно, что если: удовлетворяет д.у., то также удовлетворяют этому уравнению: подставим в , получим и u, v – решения уравнения (11).

, и – решения уравнения (11), при этом и – линейно независимы .

ПР. .

Дата добавления: 2014-01-15