Криві ІІ порядку

Поворот координатних осей

Початок координат залишимо на своєму місці, а вісі повернемо на деякий кут .

Перехід від „нових” до „старих” координат точки :   Перехід від „старих” до „нових” координат точки :

Розглянемо загальне рівняння ІІ степеня з двома змінними і :

, де . (8.1*)

Завжди можна підібрати кут , на який потрібно зробити поворот системи координат так, щоб у новій системі рівняння (8.1*) не містило добутку (тобто ). Тому далі розглядаємо рівняння

, де . (8.1)

Дослідимо три можливі випадки:

I. Еліптичний: (тобто коефіцієнти при і одного знака).

II. Гіперболічний: (коефіцієнти при і різного знака).

III. Параболічний: (тільки одна із змінних входить до рівняння у другому степені).

І. Еліптичний випадок (). Виділяючи повні квадрати по обох змінних, рівняння (8.1) зводимо до вигляду:

(8.2)

Продемонструємо цей процес на конкретному прикладі:

а) згрупуємо змінні:

б) винесемо за квадратні дужки коефіцієнти при , :

в) доповнюємо до повних квадратів:

г) розкриємо (лише квадратні) дужки і приведемо до вигляду (8.2):

.

Повернемося до рівняння (8.2). Це рівняння може визначати на площині різні множини точок, тому розглянемо всі можливі випадки:

1. Якщо , і – одного знака, то діленням обох частин рівняння (8.2) на дістанемо:

або .

Позначимо , . Тоді рівняння (8.2) набуває вигляду:

– нормальне рівняння еліпса.

Можна показати, що дане рівняння визначає на площині:

а) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі (див. рис.1):

 

б) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі .

Наприклад: ; еліпс;

; ; ; ;

; ;

– нормальне рівняння еліпса (рис.3)

Рис.3 F2 F1 х = –1 y х 1,7 1,7 1,4 1,4

Параметри: центр ; – мала, а – велика півосі; відстань від центра до фокусів ; ексцентриситет .

в) у випадку еліпс перетворюється в коло з центром радіуса .

Наприклад:

нормальне рівняння кола.(рис.4) Параметри: центр ; радіус .

y

Рис.4

x = 4

Дата добавления: 2014-01-15