Гипербола. 3 страница

1. Воспользуемся формулой бинома Ньютона.
2. a+bn=an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnn-1abn-1+bn,
3. где Cnk – число сочетаний из n элементов по k элементов и Cnk=n!k!n-k!, где n!=1⋅2⋅…⋅n.
4. Тогда xn=1+1nn=1+Cn11n+Cn21n2+…+Cnn-11nn-1+1nn=1+n!1!n-1!1n+n!2!n-2!1n2+…++n!n-1!1!1nn-1+1nn=1+1+nn-12!n1n2+…+nn-1…n-n-1n-1!1nn-1+nn-1…n-n-1n!1nn=
5. =2+12!1-1n+13!1-1n1-2n+…+1n-1!1-1n1-2n+…
6. +1-n-2n+1n!1-1n1-2n…1-n-1n
7. Подставляя в это равенство в место индекса n, n+1, найдем
8. xn+1=1+1n+1n+1=2+12!1-1n+1+13!1-1n+11-2n+1+…
9. +1n!1-1n+11-2n+1…1-n-1n+1+1n+1!1-1n+1…1-nn+1
10. Так как для любого натурального k 1-kn<1-kn+1, то каждое слагаемое в выражении для xn+1, начиная со второго слагаемого, больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для xn, кроме этого xn+1 содержит на одно положительное слагаемое больше, чем xn, т.е. xn+1>xn. Тем самым, монотонное возрастание последовательности xn доказано. Докажем ограниченность последовательности xn.
11. Для доказательства ограниченности сверху этой последовательности заметим, что для любого n>2 справедливо неравенство n!>2n-1. Поэтому
12. xn<2+12!+…+1n!<2+12+122+…+12n-1=2+121-12n-112=2+1-12n-1=3-12n-1<3
13. Т.е. xn<3 для всех n. Т.е. последовательность xn ограничена сверху.
14. Итак, последовательность xn является монотонно возрастающей ограниченной сверху последовательностью. По теореме 3.10 она сходится к некоторому пределу, который мы обозначим через e.
15. Итак, limn→∞1+1nn=e. (24)
17. Отметим, что число e является иррациональным (без доказательства) числом, имеющим с точностью до пятнадцати знаков после запятой вид
18. e=2,718281828459045…
19. §4. Функция и её предел.
20. 1. Понятие функции. Пусть X и Y - непустые числовые множества. Если каждому элементу x∈X по некоторому закону f ставится в соответствие единственный элемент y∈Y, то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x), при этом переменная x∈X называется аргументом или независимой переменной, множество X называется областью определения функции. Совокупность всех значений f(x) называется областью изменения функции.
21. Примеры функций.
22. 1. fx=x2. Эта функция определена на всей числовой прямой -∞, +∞. Областью изменения является полупрямая 0,+∞.
23. 2. Dx=0, если x-иррациональное число1, если x-рациональное число
24. Областью определения является множество -∞, +∞. Область изменения состоит из двух точек: 0 и 1.
25. 3. fx=sgnx= 1, если x>0 0, если x=0-1, если x<0
26. 2. Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть x – бесконечное числовое множество.
27. Точка a бесконечной прямой -∞, +∞ называется предельной точкой множества x, если в любой δ окрестности точки a (т.е. в любом интервале a-δ, a+δ) имеются точки множества x, отличные от точки a.
28. Замечание. Точка a может, как принадлежать множеству x, так и не принадлежать ему.
29. Например, для интервала 0, 1 очевидно, 0 является предельной точкой. Однако 0∉0, 1. Для сегмента 0, 1, точка 0 является предельной точкой. В последнем случае 0∈0, 1.
30. Пусть функция f(x) определена на множестве x и точка a предельная точкой этого множества.
31. Предел функции по Гейне. Число b называется пределом функции y=f(x) в точке a, если для любой последовательности значений аргументов x1, x2, x3, …, xn, …, сходящейся к a, элементы которой отличны от a, соответствующая последовательность fx1, fx2, …, fxn, … сходится к числу b.
32. Предел функции по Коши. Число b называется пределом функции в точке a, если для любого положительного числа ε найдётся положительное число δ=δε>0, такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию 0<x-a<δ справедливо неравенство
33. fx-b<ε. (1)
34. Замечание. Отметим, что в определении предела функции по Гейне говорится, что элементы xn отличны от a, а в определении предела по Коши, что 0<x-a. Эти требования вызваны тем, что функция fx может быть не определена в точке a.
35. Докажем теперь эквивалентность приведенных определений.
36. Пусть b является пределом функции fx по Коши. Возьмём произвольную последовательность элементов x1, x2, x3, …, xn, …, отличных от a и сходящихся к a. Тогда для произвольного ε>0 найдется такое положительное число δ=δε, что при всех значениях аргумента x для которых выполнено неравенство 0<x-a<δ, будет выполнено fx-b<ε. Так как последовательность xn сходится к a, то для числа δ существует такой номер N=N(δ), что для всех номеров n>N справедливо неравенство xn-a<δ. Но для таких аргументов xn справедливо неравенство
37. fxn-b<ε.
38. Итак, для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех номеров n>N, выполняется
39. fxn-b<ε.
40. Следовательно, число b является пределом последовательности fxn.
41. Таким образом, если b является пределом функции fx в точке a по Коши, то b является пределом функции fx и по Гейне.
42. Докажем теперь обратное. Пусть b - предел функции по Гейне. Предположим, что b не является пределом функции fx по Коши. Тогда должно существовать такое положительное число ε, что для произвольного положительного числа δ, найдется, хотя бы одно значение аргумента x, для которого 0<x-a<δ, но fx-b≥ε.
43. Возьмём последовательность δn, где δn=1n. Для каждого δn=1n >0, должен существовать такой элементxn∈x, для которого выполнены неравенства: 0<xn-a<1n (2) и fxn-b≥ε. (3).
44. Из неравенства (2) следует, что последовательность xn сходится к a и состоит из чисел, отличных от a. Тогда по условию последовательность fxn сходится к числу b. В тоже время, из неравенства (3) следует, что последовательность fxn не сходится к b. Т.е. получаем противоречие, что вызвано предположением о том, что число b не является пределом функции по Коши. Итак, эквивалентность приведенных определений доказана.

263. Односторонние пределы.

1. Определение одностороннего предела по Гейне. Число b называется правым (левым) пределом функции fx в точке a, если для любой сходящейся к a последовательности xn, элементы xn которой больше (меньше) a, соответствующая последовательность fxn сходится к числу b.
2. Обозначение limx→a+0fx=b limx→a-0fx=b.
3. Определение одностороннего предела по Коши. Число b называется правым (левым) пределом функции fx в точке a, если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам a<x<a+δ a-δ<x<a выполняется неравенство fx-b<ε.
4. Повторяя рассуждения, приведенные в п.2, без особого труда, можно доказать эквивалентность приведенных определений.
5. Рассмотрим в качестве примера функцию sgnx. Для этой функции имеем
6. limx→0+0sgnx=1, limx→0-0sgnx=-1,limn→∞1+1nnр
7. так как, для любой сходящейся к 0 последовательности xn, элементы которой больше 0, имеем sgnxn=1, а для любой сходящейся к 0 последовательности xn, элементы которой меньше 0, sgnxn=1, поэтому limn→∞sgnxn=1, limn→∞sgnxn=-1.
8. Теорема 4.1. Функция fx имеет в точке a предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
9. Доказательство. Пусть limx→a+0fx=limx→a-0fx=b. Тогда, согласно определению предела функции слева и справа, для любого ε>0 существуют числа δ1>0 и δ2>0, такие, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам a-δ1<x<a 4 и для всех x, удовлетворяющих неравенствам a<x<a+δ2 (5) справедливо неравенство fx-b<ε (6).
10. Пусть δ=minδ1, δ2, тогда для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0<x-a<δ будет выполнено хотя бы одно из двух неравенств (4) и (5), но при таких значениях x верно неравенство (6). Итак, для любого положительного ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0<x-a<δ, выполнено неравенство fx-b<ε. Т.е. b является пределом функции fx в точке a.
11. Обратно. Пусть limx→afx=b. Тогда для любого ε>0, существует δ>0 такое, что как только 0<x-a<δ, справедливо неравенство fx-b<ε. Следовательно, неравенство fx-b<ε верно для всех x, удовлетворяющих неравенствам a-δ<x<a и для всех x, удовлетворяющих неравенствам a<x<a+δ. Но в таком случае, из определения левого и правого пределов следует, что limx→a-0fx=b и limx→a+0fx=b. Теорема 4.1 доказана.
12. 4. Предел функции при x→∞, x→-∞ и при x→+∞.
13. Предел функции при x→∞ по Гейне. Число b называется пределом функции fx при x→∞, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента xn, соответствующая последовательность значений функции fxn сходится к числу b.
14. Предел функции при x→∞ по Коши. Число b называется пределом функции fx при x→∞, если для любого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число δ такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству x>δ, справедливо неравенство fx-b<ε.
15. Предел функции fx при x→+∞ (при x→-∞) по Гейне. Число b называется пределом функции fx при x→+∞ (x→-∞), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента xn, все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность fxn сходится к числу b.
16. Предел функции fx x→+∞ (x→-∞) по Коши. Число b называется пределом функции fx при x→+∞ (x→-∞), если для любого ε>0 существует число δ>0 такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих неравенству x>δ x<-δ, справедливо неравенство
17. fx-b<ε.
18. Для обозначения введённых выше пределов используется следующая символика: limx→∞fx=b,
19. limx→-∞fx=b, limx→+∞fx=b.
20. 5. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
21. Теорема 4.2. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке a пределы равные B и C соответственно. Тогда функции fx±gx,
22. f(x)⋅g(x) и f(x)g(x) имеют в точке a пределы, равные соответственно B±C, B⋅C и BC. (в случае частного C≠0)
23. Доказательство. Пусть xn (xn≠a) - произвольная сходящаяся к a последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от a. Тогда последовательности fxn и gxn сходятся соответственно к пределам B и C. Всилу теоремы 3.7, последовательности
24. fxn±gxn, fxn⋅gxnи fxngxn (при C≠0) имеют пределы, соответственно равные B±C, B⋅C и BC. Последнее утверждение, в силу определения предела функции по Гейне, означает, что limx→afx±gx=B±C, limx→af(x)⋅g(x)=B⋅C, limx→af(x)g(x)=BC. Теорема 4.2 доказана.
25. Теорема 4.3. Пусть функции fx, g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a и пусть limx→afx=limx→agx=b. Пусть, кроме этого, выполняются неравенства fx≤gx≤hx. Тогда существует limx→agx и этот предел равен b.
26. Доказательство. Пусть xn - произвольная, сходящаяся к a последовательность, элементы xn которой отличны от a. Тогда, соответствующие последовательности fxn и hxn сходятся и их пределы равны b. Из условия теоремы следует, что fxn≤gxn≤hxn, для каждого n. В силу теоремы 3.9, существует limn→∞gxn=b. Следовательно, существует и limx→agx и этот предел равен b.
27. Теорема 4.3 доказана.
28. 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
29. Функция fx называется бесконечно малой функцией в точке a, если limx→afx=0. Аналогично определяются бесконечно малые функции при x→∞, x→+∞,
30. x→-∞, x→a-0, x→a+0.
31. Приведем эквивалентное определение бесконечно малой функции «на языке ε-δ».
32. Функция fx называется бесконечно малой функцией в точке a, если для каждого положительного ε, существует такое положительное число δ, что как только 0<x-a<δ будет выполняться неравенство fx<ε.
33. Теорема 4.4. Сумма и произведение двух бесконечно малых, при x→a функций, являются бесконечно малыми функциями.
35. Следствие. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых, при x→a функций являются бесконечно малыми функциями.
36. Справедливость приведённого следствия непосредственно вытекает из теоремы 3.4.
37. Функция fx называется ограниченной на отрезке a, b, если существует такое положительное число M>0, что для всех x∈a, b справедливо неравенство fx≤M, или
38. -M≤fx≤M. Ограниченность функции y=fx означает, что график этой функциивыходит из полосы y=M и y=-M.
40. Функция fx называется ограниченной сверху на отрезке a, b, если существует такое число M, что fx≤M для каждого x∈a, b.
41. Функция fx называется ограниченной снизу на отрезке a, b, если существует такое число m, что справедливо неравенство m≤fx, для каждого x∈a, b.
42. Из сказанного выше следует, что функция ограничена на отрезке a, b тогда и только тогда, когда она ограничена и сверху и снизу на отрезке a, b.
44. Теорема 4.5. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию является бесконечно малой функцией.
45. Доказательство. Пусть f(x) – ограниченная функция, а gx - бесконечно малая при x→a функция. Рассмотрим произвольную последовательность xn, сходящуюся к a, элементы которой отличны от a. Тогда последовательность gxn является бесконечно малой последовательностью, а fxn - ограниченной последовательностью. В силу теоремы 3.2 последовательность fxn⋅gxn будет бесконечно малой, т.е. limn→∞fxn⋅gxn=0. Из последнего равенства следует утверждение теоремы.
46. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке x=a (или при x→a), если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0<x-a<δ, справедливо неравенство fx>ε.
47. В этом случае пишут limx→afx=∞ и говорят, что функция стремится к бесконечности при x→a, или, что она имеет бесконечный предел в точке a.
48. Если для любого ε>0, существует число δ>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0<x-a<δ справедливо неравенство fx>ε fx<-ε, то будем говорить, что функция fx имеет в точке a бесконечный предел, равный +∞ -∞.
49. Если для любого ε>0, существует число δ>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам a<x<a+δ справедливо неравенство fx>ε fx<-ε, то будем говорить, что функция fx имеет правый бесконечный предел, равный +∞ -∞.
50. Обозначение limx→a+0fx=+∞, limx→a+0fx=-∞.
51. По аналогии определяются бесконечные левые пределы limx→a-0fx=+∞, limx→a-0fx=-∞.
52. Теорема 4.6. Если функция fx является бесконечно малой в точке a и fx≠0 в некоторой окрестности точки a, то функция 1fx является бесконечно большой функцией в точке a.
53. Доказательство. Пусть ε – произвольное положительное число и рассмотрим положительное число 1ε. Для этого числа существует положительное δ такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0<x-a<δ справедливо неравенство fx<1ε или 1fx>ε. Следовательно, для всех x, для которых 0<x-a<δ верно неравенство 1fx>ε. Это означает, что 1fxбесконечно большая функция в точке a.
54. 7. Замечательные пределы.
55. Первый замечательный предел. Докажем, что limx→0sinxx=1 (7).
56. Этот предел принято называть первым замечательным пределом.
57. Рассмотрим дугу единичной окружности, с центральным углом, радиальная мера которого равна x 0<x<π2.
59. Тогда OA=1,sinx=MK, AT=tgx 8. Очевидно, что площадь △AOM меньше площади сектора OAM, которая меньше площади △OAT. Так как, S△AOM=12OA⋅MK, Sсектора OAM=12OA⋅AM,
60. S△OAT=12OA⋅AT, то 12OA⋅MK<12OA⋅AM<12OA⋅AT. Из этих неравенств и равенства (8), найдём: sinx<x<tgx (9). Разделив обе части неравенств (9) на sinx, найдём
61. 1<xsinx<1cosx или cosx<sinxx<1 (10). Из неравенств (10) находим 0<1-sinxx<1-cosx или 0<1-sinxx<2sin2x2 (11). Так как, sinx2≤1, то при 0<x<π2, справедливо неравенство sin2x2≤sinx2, поэтому из неравенств (11) имеем
62. 0<1-sinxx<2sinx2. Т.к. sinx2<x2, то 0<1-sinxx<2⋅x2=x, т.е. 0<1-sinxx<x (12).
63. Для завершения доказательства равенства (7), достаточно воспользоваться неравенствами (12) и теоремой 4.3.
64. Второй замечательный предел.
65. limx→∞1+1xx=e (13).
66. Доказательство равенства (13) основано на, доказанное в §4 равенство,
67. limn→∞1+1nn=e. Подробное доказательство равенства (13) см. Шипачёв В.С. «Высшая математика» стр. 81.
68. Третий замечательный предел. Докажем, что limx→0ln1+xx=1.
69. Действительно. ln1+xx=ln1+x1x. Пусть t=1x. Тогда t→∞ при x→0. Поэтому limx→01+x1x=limt→∞1+1tt. В силу равенства (13), последний предел равен e. Тогда limx→0ln1+xx=lne=1.
70. Четвёртый замечательный предел. Докажем, что limx→0ax-1x=lna 14 a=const, a>0.
71. Очевидно, при a=1, равенство (14) выполнено. Пусть a>0 и a≠1. Обозначим ax-1 через t. Тогда t→0 при x→0. x=loga1+t=ln1+tlna. Тогда limx→0ax-1x=
72. =limt→0tln1+tlna=limt→0lnaln1+tt=limt→0lnalimt→0ln1+tt=lna.
73. Пятый замечательный предел. Докажем, что limx→01+x∝-1x=∝ (15).
74. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, представим 1+x∝ в виде 1+x∝=eln1+x∝=e∝ln1+x. Обозначим ln1+x=t. Тогда t→0 при x→0.
75. limx→01+x∝-1x=limt→0 e∝t-1et-1=limt→0 e∝t-1∝t⋅∝tet-1
76. Из равенства (14) имеем limt→0 e∝t-1∝t=lne=1 и limt→0∝tet-1=∝. Т.е. limx→01+x∝-1x=∝.
78. §5. Непрерывные функции.
79. 1. Определение непрерывной функции по Гейне и по Коши. Пусть функция fx определена в некоторой окрестности точки a.
80. Функция fx называется непрерывной в точке a, если существует предел данной функции в точке a и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. limx→afx=fa.
81. Пользуясь определением предела функции по Гейне и по Коши, приведем следующие два определения непрерывной функции.
82. Определение непрерывной функции по Гейне. Функция fx называется непрерывной в точке a, если для любой последовательности значений аргумента xn сходящейся к пределу a, соответствующая последовательность значений функции fxn сходится к пределу f(a).
83. Определение непрерывной функции по Коши. Функция fx называется непрерывной в точке a, если для любого положительного ε существует положительно число δ=δε такое, что для всех x, для которых x-a<δ, справедливо неравенство fx-fa<ε.
84. Очевидно, приведенные определения эквивалентны.
85. 2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
86. Теорема 5.1. Пусть функции fx и gx непрерывны в точке a. Тогда функции fx±gx,
87. fx⋅gxи f(x)gx ga≠0, также непрерывны в точке a.
88. Доказательство. Так как функции fx и gx непрерывны в точке a, то limx→afx=fa,
89. limx→agx=ga. Тогда limx→afx±gx=limx→afx±limx→agx=fa±ga, что доказывает непрерывность функции fx±gx в точке a.
90. limx→afx⋅gx=limx→afx⋅limx→agx=fa⋅ga, т.е. функция fx⋅gx непрерывна в точке a.
91. limx→afxgx=limx→afxlimx→agx=faga, т.е. функция fxgx непрерывна в точке a.
92. 3. Примеры непрерывных функций.
93. Непрерывность рациональных функций.
94. Непосредственно из определения, следует непрерывность постоянной функции fx=C. Действительно, в каждой точке x0 числовой прямой выполняются равенства limx→x0fx=C=fx0. Следовательно, постоянная функция непрерывна в каждой точке x0 вещественной прямой.
95. Функция fx=x также является непрерывной в каждой точке числовой прямой. Действительно limx→afx=a=fa, что означает непрерывность функции fx в любой точке a∈-∞, +∞. Из непрерывности функции fx=x и теоремы 5.1 следует непрерывность, в любой точке числовой прямой, функций x2=x⋅x, x3=x2⋅x, …, xn=xn-1⋅x, где n∈N. Из сказанного выше следует непрерывность функции
96. Px=C0xn+C1xn-1+…+Cn-1x+Cn (1) в любой точке a∈-∞, +∞, где C0, C1,…, Cn – любые числа, а n∈N. Функция вида (1) называется алгебраическим многочленом или полиномом.
97. Дробно-рациональная функция, т.е. функция вида Rx=PxQx, где Px и Qx - алгебраические многочлены, непрерывна во всех точках x, в которых функция Qx не обращается в нуль, как частное непрерывных функций.
98. Например, функция Rx=2x4+x3-2x2+x-3x3+1 непрерывна во всех точках, за исключением тех точек, где x3+1=0, т.е. x=-1.
99. Непрерывность тригонометрических функций. sinx,cosx,tgx,ctgx,secx,cosecx. Покажем, что функция sinx непрерывна в каждой точке a∈-∞, +∞. Рассмотрим разность
100. sinx-sina=2cosx+a2sinx-a2 тогда
101. limx→asinx-sina=limx→a2cosx+a2sinx-a2 (2)
102. Докажем, что limx→a2sinx-a2=0. Действительно, обозначим x-a2=t. Очевидно, что t→0 при x→a. Тогда limx→asinx-a2=limt→0sint=.limt→0sintt⋅t=limt→0sintt⋅limt→0t=0. Т.е. функция sinx-a2 - бесконечно малая функция при x→a. Тогда т.к. функция cosx+a2 – ограничена cosx+a2≤1, то из теоремы 4.4. следует, что правая часть равенства (2) равна 0. А это означает, что limx→asinx--sina=0, т.е. limx→asinx=sina. Непрерывность функции sinx доказана. Непрерывность функции cosx доказывается аналогично.
103. Из непрерывности функций sinx,cosx и теореме 5.1 следует непрерывность функций tgx=sinxcosx и secx=1cosx во всех точках, где cosx≠0, т.е. во всех точках, кроме x=π2+πn, n=0, ±1, ±2,… и функций ctgx=cosxsinx и cosecx=1sinx во всех точках, кроме x=πn, n=0, ±1, ±2,…
104. Непрерывность функции fx=x. Эта функция определена и непрерывна во всех точках числовой прямой. Действительно, в точках интервала 0, +∞ она непрерывна, так как при x>0 fx=x. В точках интервала -∞, 0 функция fx также непрерывна, так как при x<0 fx=-x, эта функция непрерывна как произведение двух непрерывных функций -1 и x. Установим теперь непрерывность функции x в точке 0. Для этого вычислим односторонние пределы в точке 0.
105. limx→0-x=limx→0--x=-limx→0-x=0; limx→0+x=limx→0+x=0
106. Итак, пределы функции x в точке 0 слева и справа совпадают и равны значению функции в этой точке, тогда по теореме 4.1 существует limx→0x и этот предел равен односторонним пределам, т.е. нулю. Следовательно для функции x существует предел в точке 0, и этот предел равен значению функции в точке 0, что означает непрерывность данной функции в точке 0.
107. Функция fx называется непрерывной на интервале a, b, если она непрерывна в каждой точке x этого интервала.
108. Замечание. В определении 5.2 интервал a, b может быть как конечным, так и бесконечным интервалом, т.е. может иметь вид -∞, b, b, +∞, -∞, +∞.
109. Функция fx называется непрерывной на сегменте a, b, если она непрерывна в каждой точке a, b и непрерывна в точке a справа и в точке b слева, т.е.
110. limx→a+0f(x)=fa, limx→b-0f(x)=f(b)
112. 4. Классификация точек разрыва.
113. Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если функция f(x) в точке a не является непрерывной.
114. Согласно определению непрерывной функции и теореме 4.1 функция f(x) непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a;

2. Должны существовать конечные пределы в точке a справа и слева limx→a+0f(x), limx→a-0f(x);

3. Эти односторонние пределы должны быть равными;

4. Эти пределы должны быть равны fa.

1. Следовательно точка a будет точкой разрыва функции f(x), если нарушается, хотя бы одно из перечисленных условий.
2. В зависимости от того, какое из указанных условий нарушено, различают следующие виды точек разрыва.
3. Точка a называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если существуют конечные односторонние пределы в точке a, эти пределы равны, но не равны значению функции в точке a, т.е.
4. limx→a+0f(x)=limx→a-0f(x)≠fa
5. Если функция f(x) имеет устранимый разрыв в точке a, то для устранения этого разрыва достаточно изменить значение функции f(x) только в одной точке a, положив его равным односторонним пределам в точке a.
6. Точка a называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если функция f(x) имеет в этой точке конечные, но не равные друг другу односторонние пределы.
7. Точка a называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если хотя бы один из двух односторонних пределов функции f(x) в этой точке, либо не существует, либо является бесконечным.
8. Приведем несколько примеров.
9. Пример 1. функция fx=sinxx при x≠02 при x=0
10. имеет в точке x=0 устранимый разрыв, так как
11. limx→a+0f(x)=limx→a-0f(x)=1≠f0=2;
12. Пример 2. Функция sgnx= 1 при x>0, 0 при x≠0,-1 при x<0
13. имеет в точке 0 разрыв первого рода, так как
14. limx→0+0sgnx=1, limx→0-0sgnx=-1;
15. Пример 3. Функция fx=sin1x x≠00 x=0 имеет в точке x=0 разрыв второго рода, так как у этой функции не существует в точке 0 ни левого, ни правого пределов. Действительно, если бы существовал предел limx→0+0sin1x=b, то для любой последовательности xn→0, xn>0 limn→∞sin1xn=b. Возьмём две последовательности xn=1πn и yn=1π2+2πn, тогда fxn=sinπn=0, т.е. limn→∞fxn=0,
16. fyn=sinπ2+2πn=1 и limn→∞fun=1. Следовательно, у функции fx в точке 0 не существует правого предела.
17. Аналогично доказывается, что у этой функции не существует в точке 0 левого предела.
18. Пример 4. Функция fx=1x имеет в точке x=0 разрыв второго рода, так как limx→0-01x=-∞, limx→0+01x=+∞.
20. 5. Основные свойства непрерывных функций.
21. Теорема 5.2. (теорема об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция fx непрерывна в точке a и fa≠0. Тогда существует δ>0 такое, что всюду в пределах δ окрестности точки a, функция fx имеет тот же знак, что fa.
23. Доказательство. Рассмотрим сначала случай fa>0. Так как функция fx непрерывна в точке a, то для положительного числа ε=fa существует положительное число δ такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству x-a<δ будет выполнятся неравенство fx-fa<fa, или
24. -fa<fx-fa<fa
25. Из левого неравенства находим fx>0 для всех x∈a-δ, a+δ, что и требовалось доказать.
27. Пусть теперь fa<0. Рассмотрим функцию -fx. Тогда -fa>0 и согласно доказанному, существует такая δ – окрестность a-δ, a+δ, что в каждой точке этой окрестности -fx>0 или fx<0. Теорема 5.2 доказана.
28. Аналогичная теорема справедлива и для функции, которая является непрерывной в точке только справа или только слева.
29. Для любого δ>0 полусегмента a, a+δ будем называть правой -полуокрестностью точки a, а полусегмент (a-δ, a] – левой δ-полуокрестностью точки a.
30. Справедлива следующая теорема.
31. Теорема 5.2^’. Если функция fx определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки a, непрерывна в точке a справа (слева) и её значение fa отлично от нуля, то найдётся такое положительное число δ, что функция fx всюду в правой (левой) δ -полуокрестности точки a имеет тот же знак, что и в точке a.
32. Для доказательства этой теоремы нужно дословно повторить доказательство теоремы 5.2, при этом термин окрестность точки a заменить на термин правая (левая) -полуокрестность точки a.
33. Теорема 5.3. (О прохождении через нуль непрерывной на сегменте функции) Пусть функция fx непрерывна на сегменте a, b и её значения на концах этого сегмента fa и fb являются числами разных знаков, тогда внутри сегмента a, b найдётся такая точка c, в которой fc=0.
34. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что fa<0, fb>0.
35. Обозначим через E=x∈a, b:fx<0. Очевидно, E непустое ограниченное множество, так как a∈E и E⊂a, b. В силу теоремы 2.1 §2 гл. 5 у множества E существует точная верхняя грань c=supE. Заметим, что c не может совпадать с концами сегмента a, b. Действительно, если a= c, то в силу теоремы 5.2 ^’ , существует правая -полуокрестность c, c+δ точки c, такая, что fx<0 для всех x∈c, c+δ). Следовательно, существует точка x∈E, такая, что x> supE, чего быть не может. Аналогично, из свойств непрерывных функций и определения точной верхней грани, следует, что c≠ b.
36. Докажем, что fc=0. Действительно, если fc≠0, то в силу теоремы 5.2 найдется -окрестностьс-δ,с+δ точки с, в пределах которой fx будет иметь определенный знак, что невозможно, поскольку по определению точной верхней грани найдется хотя бы одно значение из полусегмента с-δ,с, для которого fx<0, а для любого значения x из интервала с,с+δ справедливо неравенство fx≥0. Теорема доказана.
37. Теорема 5.4. (прохождение непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение) Пусть функция fx непрерывна на сегменте a, b, причём fa=∝, fb=β. Тогда для любого значения γ, заключённого между числами ∝ и β, на сегменте a, b найдётся точка c, такая что fc=γ.
39. 1. Если ∝=β, то γ=∝=β и в качестве c можно взять точку a или точку b.
40. 2. Если γ совпадает с ∝ или с β, то в качестве c можно взять или a или b соответственно.
41. 3. ∝≠β. Без ограничения общности будем считать, что ∝<β. Пусть γ - любое число, удовлетворяющее неравенству ∝<γ<β. Рассмотрим функцию φx=fx-γ. Очевидно, функция φx непрерывна на сегменте a, b. Кроме этого φa=fa-γ=∝-γ<0 и
42. φb=fb-γ=β-γ>0. Тогда, согласно теореме 5.3 существует такая точка c внутри сегмента, что φc=0, или fc=γ. Теорема 5.4 доказана.
43. Теорема 5.5. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция fx непрерывна на отрезке a, b, то она ограничена на этом сегменте.
44. Доказательство. Приведём доказательство только ограниченности сверху, ибо ограниченность снизу доказывается аналогично.
45. Доказательство проведем от противного. Предположим, что функция fx непрерывна на отрезке a, b и не ограничена на этом сегменте.
46. Для каждого натурального n рассмотрим множество En=x∈a, b:fx≥n. По предположению, функция fx не ограничена, поэтому для каждого натурального n, En≠∅.
47. Отметим следующие два свойства множества En:

1. Для любого n∈N множество En является ограниченным.

Дата добавления: 2014-01-15