ІІ. Гіперболічний випадок

Якщо в рівнянні (8.2) і – різних знаків, то немає точок площини, координати яких задовольняли б рівняння. У цьому випадку кажуть, що рівняння визначає уявний еліпс.

Наприклад: ; еліпс.

; ;

; ;

; .

Дістали рівняння, ліва частина якого набуває при будь–яких тільки невід’ємних значень. Отже, рівняння визначає порожню множину точок – уявний еліпс.

3. Якщо , то рівняння (8.2) набуває вигляду:

,

і визначає єдину точку – вироджений еліпс.

Аналогічно еліптичному випадку загальне рівняння (8.1) приводиться до вигляду (8.2):

.

1. Якщо , то, поділивши обидві частини рівняння (8.2) на або (–), дістанемо одне із двох рівнянь:

– нормальні рівняння гіперболи.

Можна показати, що ці рівняння визначають на площині:

а) – гіперболу з дійсною віссю, вершинами і фокусами – на прямій (див. рис.5)

   

Рис.5

Параметри: центр ; – дійсна, – уявна півосі; вершини ; фокуси знаходяться на прямій на відстані від центра ; ексцентриситет – відношення міжфокусної відстані до дійсної осі – , який для гіперболи ; асимптоти – прямі (діагоналі так званого „основного прямокутника”), що визначаються рівняннями .

Нагадаємо, що пряма є асимптотою лінії , якщо при прямуванні точки по лінії у нескінченність відстань від цієї точки до асимптоти прямує до нуля.

Характеристична властивість точок М(х; у) гіперболи

Модуль різниці фокальних радіусів є величина стала, що дорівнює дійсній осі:

.

Зауважимо, що цю властивість можна прийняти як геометричне означення гіперболи.

б) рівняння визначає так звану „спряжену” до випадку а) гіперболу з дійсною віссю – на прямій (див. рис.6):

		M (x, y)
		F1
		F2

   

Рис.6

x = x₀

y = y₀

O’

a

a

b

b

A₂

A₁

B₂

B₁

x

Параметри аналогічні гіперболі а), тільки: – уявна, – дійсна півосі; фокуси і вершини знаходяться на прямій ; ексцентриситет .

Наприклад: ; гіперболічний випадок

; ;

;

;

;

; ;

– гіпербола. (рис.7)

Схематична побудова:

3,7 3,7 2,2 Рис.7 F1 F2 х у

Параметри: центр ; – уявна, – дійсна півосі; фокуси – на прямій ; відстань від центра до фокусів .

2. Якщо , то ліву частину рівняння (8.2) можна розкласти на множники як різницю квадратів:

,

тому рівняння визначатиме на площині дві прямі (вироджена гіпербола).

Наприклад: ;гіпербола;

;

;

;

Рис.8 х l2 l1 –1 y

; ; ; – дві прямі (рис.8)

Дата добавления: 2014-01-15