Измерения в статистике. Шкалы измерений

Самым важным моментом, в смысле практического использования моделей систем, является установление степени соответствия между моделью и моделируемыми объектами, явлениями или процессами. Цель установления такого соответствия заключается в выяснении вопроса – является ли модель адекватной оригиналу. Самым эффективным и наиболее широко используемым методом установления истинности модели является сопоставление теоретических следствий, полученных с использованием модели, с экспериментальными данными или экспериментальными измерениями.

Результаты любого эксперимента фиксируются в той или иной форме, а затем, как правило, используются либо для проверки истинности модели, либо для создания модели исследуемого явления. В практике научных исследований обработка экспериментальных данных является важным этапом между этапами получения информации (измерения наблюдаемых свойств исследуемого объекта) и ее использования. Экспериментальные данные отображаются в определенной шкале, которая определяет допустимые методы обработки данных.

Измерение – это операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса или явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ. Такое соответствие обеспечивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдаемом объекте, количество же информации зависит от степени полноты этого соответствия. Необходимая информация получается из измерений в результате их преобразования, или, как еще говорят, с помощью обработки экспериментальных данных.

Очевидно, что чем полнее соответствие между наблюдаемыми состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно то, что степень этого соответствия зависит не только от выбора методов и способов измерений (т.е. от экспериментатора), но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия в свою очередь определяет допустимые (и недопустимые) способы обработки данных. В принципе само исследуемое явление или объект накладывают определенные ограничения на процедуру измерений.

Далее мы будем рассматривать только такие явления, процессы и объекты, про любые состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие методы измерения, которые различимым состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые обозначения. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения, по крайней мере, должны удовлетворять следующим аксиомам:

Рефлексивность -

Симметричность - Если , то .

Транзитивность -Если и , то .

Здесь символ «=» обозначает отношение эквивалентности.

Для того чтобы разработать математическую модель явления или процесса необходимо в первую очередь установить типы шкал, в которых будут измерены те или иные характеристики, свойства и состояния. Тип шкалы заодно определяет группу допустимых преобразований шкалы. Допустимые преобразования не меняют соотношений между результатами измерений. При измерении расстояния переход от одной единицы измерения, например от метров к футам, не изменяет отношения между расстояниями - если объект расположен от объекта на большем расстоянии чем , то это отношение будет сохраняться, независимо от того в каких единицах будет измеряться расстояние.

Рассмотрим основные виды шкал измерения и соответствующие им группы допустимых преобразований. Прежде всего, следует отметить, что шкалы делятся на две группы: качественные и количественные. Рассмотрим качественные шкалы.

Шкала наименований или номинальная шкала –это шкала, которая используется только для того, чтобы различать объекты.

Предположим, что число различимых состояний (число классов эквивалентности) конечно. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Теперь измерения будут состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определять принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется измерением в шкале наименований (иногда эту шкалу называют также номинальной или классификационной). При этом множество символов, обозначающих классы эквивалентности, образует шкалу наименований.

Примерами номинальных шкал могут быть различные системы нумерации (телефонные номера, индивидуальный номер налогоплательщика и т.д.), а также название национальности, городов, стран и другие способы, позволяющие зафиксировать различия процессов, явлений или объектов или их свойств.

Допустимыми преобразованиями в номинальной шкале являются только взаимнооднозначные преобразования, например, замена числовых номеров сочетаниями букв. Примером такого взаимнооднозначного преобразования являются ІР-адреса. Пользователь использует для обозначения ІР-адреса буквы латинского алфавита и некоторые дополнительные символы, а сетевые приложения оперируют ІР-адресами, которые состоят из цифр и точек. В номинальной шкале не может использоваться ни одна из арифметических операций, а также операции отношения.

Следует подчеркнуть, что обозначения, используемые в шкале наименований это только символы, даже если для этого используются номера. Поэтому при обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять только операцию проверки их эквивалентности, а также подсчет количества измерений принадлежащих данному классу эквивалентности.

На множестве измерений в шкале наименований можно осуществлять статистическую обработку данных. Рассмотрим отдельные элементы такой обработки результатов измерений. Введем символ Кронекера следующим образом:

Тогда количество измерений принадлежащих -тому классу эквивалентности будет определяться по формуле

Здесь – общее количество измерений. Получив эти результаты можно определить относительные частоты для различных классов эквивалентности –

.

Порядковая шкала (также используется название ранговая шкала) используются того чтобы задать на множестве явлений, процессов и объектов или их свойств некоторое отношение, чаще всего это отношение строгого или не строгого порядка.

Такие шкалы используются тогда, когда есть необходимость (и возможность) не только отнести результаты измерений выбранных свойств объектов или процессов к тому или иному классу эквивалентности, но сравнивать эти классы между собой по тому или иному критерию.

Отношением строгого порядка (используются обозначения , ) называется отношение обладающее следующими свойствами:

антирефлексивности -ложно;

асимметричности и -взаимоисключаются;

транзитивности: из .

Ранговая шкала, удовлетворяющая приведенным выше свойствам, называется шкалой простого или строгого порядка. Примерами такой шкалы являются воинские звания, нумерация очередности и т.д.

Примеры (принятие решений, приоритеты доступа).

Отношением нестрогого порядка (используются обозначения: , ) называется отношение, обладающее следующими свойствами:

рефлексивнности

антисимметричности

транзитивности .

Порядковая шкала, на которой выполняется отношение нестрого порядка, называется шкалой слабого порядка.

Для обработки экспериментальных данных, представленных в порядковых шкалах, используется понятие ранга. Для определения этого понятия используется ступенчатая функция вида

Тогда рангом -того измерения свойства объекта или явления называется число

,

где - число сравниваемых измерений.

В шкалах слабого порядка часть наблюдений может совпадать. Такие группы наблюдений называют связкой. В этом случае всем членам связки присваивается одинаковый ранг.

Следует подчеркнуть, что даже если результаты измерений в порядковой шкале представлены в виде чисел, их тем не менее нельзя обрабатывать как числа.

Примером такой порядковой шкалы является шкала твердости минералов по Моосу. Из двух минералов тверже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины. Отношение «А тверже В» - это отношение порядка. Шкала твердости минералов – шкала слабого порядка. В ней содержится десять градаций твердости. За эталоны приняты следующие минералы с возрастающей твердостью: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз. Промежуточных градаций твердости в этой шкале нет. Хотя градации твердости это числа, тем не менее, нельзя говорить ни что алмаз в два раза тверже апатита, ни что разница в твердости между апатитом и кварцем такая же, как и между топазом и алмазом. Характерным примером ошибочной обработки данных, представленных в порядковой шкале, является вычисление среднего бала в бальных шкалах оценки знаний учащихся. Бальная шкала – это порядковая шкала, поэтому средний балл в такой шкале не имеет смысла. Например, по физике двух выпускников средней школы, имеющих одинаковый средний бал, могут очень сильно отличаться. В связи с этим в ответственных случаях предпочитают устраивать не конкурс документов об успеваемости, а конкурс претендентов, т.е. возвращаются к порядковому измерению, непосредственному сравнению уровня знаний по определенной дисциплине каждого претендента.

Как и в шкале наименований, взаимно-однозначное преобразование является допустимым преобразованием в этой шкале. Например, 2 – неудовлетворительно, 3 – удовлетворительно и т.д.

Наиболее широко порядковые шкалы используются в социологических и маркетинговых исследованиях, при оценке качества продукции и услуг, экспертных оценках и в других исследованиях, где возможны только качественные измерения.

Рассмотрим количественные шкалы.

Шкала интервалов. В этой шкале отсутствует естественное начало отсчета и естественная единица измерений.

Название «шкала интервалов» связано с тем, что в такой шкале имеет смысл только разность между измеренными значениями двух различных состояний объекта. Примером использования такой шкалы является разность потенциалов электрического поля системы неподвижных зарядов. Само по себе значение потенциала электрического поля в заданной точке не имеет физического смыслы. Физический смысл имеет только разность потенциалов . По определению, разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2 равна работе по перемещению единичного заряда из точки 1 в точку 2.

Отличительной особенностью такой шкалы является то, что она не зависит от выбора начала отсчета, а также единицы измерения. Например, для измерения температуры используются различные шкалы: абсолютная шкала, Цельсия и Фаренгейта. Все эти три шкалы отличаются выбором начала отсчета, а шкала Фаренгейта и выбором единицы измерения температуры. Например, за единицу температуры в шкале Цельсия выбрана одна сотая часть интервала между точкой таяния льда и точкой кипения воды . Тем не менее, например, разность температур между точкой замерзания и кипения воды в абсолютной шкале и шкале Цельсия одинакова и равна . В шкале Фаренгейта эта разность составляет . Для того чтобы соотнести результаты измерения температур в шкалах Цельсия и Фаренгейта используют линейные формулы преобразования:

для перехода к шкале Цельсия,

для перехода к шкале Фаренгейта.

Отсюда следует, что между измерениями температуры в рассмотренных шкалах существует линейная зависимость. Это еще одна отличительная особенность шкал интервалов, которая заключается в том, что шкалы интервалов одинаковы с точностью до линейного преобразования вида

,

или инвариантны относительно линейных преобразований сдвигов, растяжения или сжатия.

Дата добавления: 2014-01-15