Статистические методы в управлении качеством

Статистические методы играют важную роль в объективной оценке количественных и качественных характеристик процесса и являются одним из важнейших элементов системы обеспечения качества продукции и всего процесса управления качеством. Неслучайно основоположник современной теории менеджмента качества Э. Деминг много лет работал в Бюро по переписи населения и занимался именно вопросами статистической обработки данных. Он придавал огромное значение статистическим методам.

Для получения качественной продукции необходимо знать реальную точность имеющегося оборудования, определять соответствие точности выбранного технологического процесса заданной точности изделия, оценивать стабильность технологического процесса. Решение задач указанного типа производится в основном путем математической обработки эмпирических данных, полученных многократными измерениями либо действительных размеров изделий, либо погрешностей обработки или погрешностей измерения.

Существуют две категории погрешностей: систематические и cлучайные. В результате непосредственных наблюдений, измерений или регистрации фактов получается множество данных, которые образуют статистическую совокупность и нуждаются в обработке, включающей систематизацию и классификацию, расчет параметров, характеризующих эту совокупность, составление таблиц, графиков, иллюстрирующих процесс.

На практике используют ограниченное количество числовых характеристик, называемых параметрами распределения.

Центр группирования. Одной из основных характеристик статистической совокупности, дающей представление о том, вокруг какого центра группируются все значения, является среднее арифметическое. Оно определяется из выражения:

(1)

где Хi - измеренный параметр i-го члена совокупности, n - количество членов совокупности.

Величина рассеяния. Статические совокупности могут иметь близкие или даже одинаковые значения центра группирования, но отдельные значения величин в них могут существенно отличаться, вследствие того, что разброс значений относительно центра бывает разный. Самой элементарной характеристикой рассеяния является вариационный размах R, определяемый по формуле

R = Xmax - Xmin

(2)

где Xmax, Xmin - максимальное и минимальное значения статистической совокупности.

Вариационный размах не всегда характерен, так как учитывает только крайние значения, которые могут сильно отличаться от всех других значений. Более точно рассеяние определяется с помощью показателей, учитывающих отклонение всех значений от среднего арифметического. Основным из этих показателей является среднее квадратичное отклонение результата наблюдений, которое определяется по формуле

(3)

Это отклонение является наиболее распространенным и общепринятым показателем вариации. Величина под корнем, то есть σ², называется дисперсией. Дисперсия имеет самостоятельное значение во многих задачах математической статистики и относится к числу важнейших показателей вариации.

Показателем отклонения значения самого среднего арифметического является среднее квадратическое отклонение среднего значения S, которое еще называют среднее квадратическое отклонение результата измерения.

(4)

Форма распределения вероятности. Для характеристики формы распределения обычно используют ту математическую модель, которая наилучшим образом приближает к виду кривой распределения вероятностей, полученной при анализе экспериментально полученных данных.

Закон нормального распределения. Большинство случайных явлений, происходящих в жизни, в частности, в производстве и научных исследованиях, характеризуются наличием большого числа случайных факторов, описывается законом нормального распределения, который является основным во многих практических исследованиях. Однако нормальное распределение не является единственно возможным. В зависимости от физической природы случайных величин, некоторые из них на практике могут иметь распределение другого вида, например, логарифмическое, экспоненциальное, Вейбулла, Симпсона, Релея, равной вероятности и др.

Уравнение, описывающие плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

(5)

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами μ и σ² и на графике представляет собой симметричную кривую Гаусса (рисунок 1), имеющую максимум в точке соответствующей значению Х = μ (соответствует среднему арифметическому Х_ср и называется центром группирования), а при Х → -∞ и Х → ∞ асимптотически приближающуюся к оси абсцисс. Точка перегиба кривой находится на расстоянии σ от центра расположения μ. С уменьшением σ кривая растягивается вдоль оси ординат и сжимается вдоль оси абсцисс. Между абсциссами μ - σ и μ + σ расположено 68,3 % всей площади кривой нормального распределения. Это означает, что при нормальном распределении 68,3 % всех измеренных единиц отклоняются от среднего значения не более чем на σ, то есть все они находятся в пределах + σ. Площадь, заключенная между ординатами, проведенными на расстоянии 2σ с обеих сторон от центра составляет 95,4 % и соответственно столько же единиц совокупности находится в пределах μ + 2σ. И наконец, 99,73 % всех единиц находится в пределах μ + 3σ. Это так называемое правило «трех сигм», характерное для нормального распределения. Согласно этому правилу за пределами отклонения на 3σ находится не более 0,27 % всех значений величин, то есть 27 реализаций на 10 тысяч. В технических приложениях принято при оценке результатов измерений работать с коэффициентами z при σ, соответствующим 90 %, 95 %, 99 %, 99,9 % вероятности попадания результата в область допуска.

Рисунок 1

Z90 = 1,65; Z95 = 1,96; Z99 = 2,576; Z999 = 3,291.

Следует отметить, что это же правило распространяется на отклонения среднего значения Х_ср (?). Оно также колеблется в некоторой области на три значения среднего квадратического отклонения среднего значения S в обе стороны, и в этой области заключено 99,73 % всех значений среднего значения. Нормальное распределение хорошо проявляется при большом количестве членов статистической совокупности, не менее 30.

Распределение Стьюдента. Для практики большой интерес представляет возможность судить о распределении случайных величин и определять производственные погрешности во всех изготовленных изделиях и погрешности научных экспериментов по результатам измерения параметров статистической совокупности полученным из партии малого объема. Эта методика была разработана Карлом Госсетом в 1908 году и опубликована под псевдонимом Стьюдент.

Распределение Стьюдента симметрично, но более сплющено, чем кривая нормального распределения, и поэтому вытянуто на концах (рисунок 2). Для каждого значения n имеется своя t-функция и свое распределение. Коэффициент z заменен в распределении Стьюдента коэффициентом t, значение которого зависит от заданного уровня значимости, который определяет какая часть реализации может находиться за пределами выбранной области кривой распределения Стьюдента и количества изделий в выборке.

Рисунок 2

При больших n распределение Стьюдента асимптотически сближается со стандартным нормальным распределением. С приемлемой для практики точностью можно считать, что при n?30, распределение Стьюдента, которое иногда называют t -распределением, апроксимируется нормальным.

t -распределение имеет те же самые параметры, что и нормальное. Это среднее арифметическое Хср, среднее квадратическое отклонение? и среднее квадратическое отклонение среднего S. Хср определяется по формуле (1), S определяется по формуле (4), а? по формуле:

(6)

Контроль точности. Когда известно распределение случайной величины, можно получить все особенности данной партии изделий, определить среднее значение, дисперсию и т.п. Но полная совокупность статистических данных партии промышленных изделий, а значит закон распределения вероятностей смогут быть известными, только после изготовления всей партии изделий. На практике закон распределения всей совокупности изделий почти всегда неизвестен, единственным источником информации служит выборка, обычно малая. Каждая рассчитанная по выборочным данным числовая характеристика, например, среднее арифметическое или дисперсия есть реализация случайной величины, которая от выборки к выборке может принимать различные значения. Задача контроля облегчается благодаря тому, что обычно не требуется знать точного значения отличий случайных значений от заданной величины. Достаточно лишь знать отличаются ли наблюдаемые значения больше чем на величину допускаемой ошибки, которая определяется величиной допуска. Распространение на генеральную совокупность оценок, сделанных по выборочным данным, может быть осуществлено только с некоторой вероятностью Р(t). Таким образом, суждение о свойствах генеральной совокупности всегда носит вероятностный характер и содержит элемент риска. Так как заключение делается по выборочным данным, то есть при ограниченном объеме информации, могут возникать ошибки первого и второго рода.

Вероятность допустить ошибку первого рода называют уровнем значимости и обозначают а. Область, отвечающая вероятности а, называется критической, а дополняющая ее область, вероятность попадания в которую равна 1-а, называется допустимой.

Вероятность ошибки второго рода обозначается?, а величина 1-? называется мощностью критерия.

Величина а иногда называется риском изготовителя, а величина? называется риском потребителя.

С вероятностью 1-а неизвестное значение Х₀ полной совокупности лежит в интервале

(Хср - Z?) < Х₀< (Хср + Z?) для нормального распределения,

(Хср - t?) < Х₀< (Хср + t?) для распределения Стьюдента.

Предельные крайние значения Х₀ называют доверительными границами.

При уменьшении объема выборки при распределении Стьюдента доверительные границы расширяются, а вероятность ошибки возрастает. Задаваясь, например, 5% уровнем значимости (а=0,05), считают, что с вероятностью 95% (Р=0,95) неизвестное значение Х₀ находится в интервале

(Хср - t?,:., Хср+t?)

Иными словами искомая точность будет равна Хср + t?, причем количество деталей с размером, выходящим за пределы этого допуска, будет составлять не более 5 %.

Контроль стабильности процесса. В реальных условиях производства фактические значения параметров технологического процесса и характеристик изготовляемой продукции не только хаотично изменяются за счет случайных погрешностей, но часто с течением времени постепенно и монотонно отклоняются от заданных значений, то есть имеет место появление систематических погрешностей. Эти погрешности должны ликвидироваться путем выявления и устранения вызывающих их причин. Проблема заключается в том, что в реальных условиях систематические погрешности трудно отличить от случайных. Незначительные систематические погрешности без специального статистического анализа могут долго оставаться незамеченными на фоне случайных погрешностей.

Анализ основан на том, что когда систематические ошибки отсутствуют, фактические значения параметров изменяются случайным образом. Однако их средние значения и основные ошибки остаются неизменными во времени. В таком случае технологический процесс называют стабильным. Условно считается, что в данной партии все изделия являются одинаковыми. При стабильном процессе случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения с центром μ=Хо. Среднее значения параметров, полученные в различных партиях, должны быть приближенно равны Хо. Следовательно, все они приближенно равны между собой, но величина текущего среднего значения Хсрт колеблется в доверительном интервале + tS, то есть:

(Хср - tS) ≤ Хсрт ≤ (Хср + tS)

(7)

Материалом для анализа стабильности могут служить те же данные, которые использовались для контроля точности. Но они будут пригодны лишь в том случае, если представляют собой непрерывные наблюдения, охватывающие достаточный промежуток времени, или если они составлены из выборок, отобраны через определенные промежутки времени. Интервалы между выборками, называемые в этом случае пробами, устанавливают в зависимости от наблюдаемой частоты разладок оборудования.

При заданном уровне значимости среднее значение Хсрт в различных текущих партиях могут различаться не более чем на величину tS от базового Хср, полученного для первого замера, то есть

/Хср - Хсрт/ ≤ tS

(8)

При выполнении этого условия можно считать, что процесс стабилен и обе партии выпущены при одинаковых условиях. Если же различие средних значений в двух партиях будет превосходить величину tS, то уже нельзя считать, что это различие вызвано только случайными причинами. В процессе появился доминирующий постоянный фактор, который изменяет значения параметров изделий в партии по определенному постоянному закону. Процесс является нестабильным и изделия, выпускаемые в разное время, будут значительно отличаться друг от друга, причем эта разница будет увеличиваться со временем.

Таким образом, расхождение средних значений в различных партиях больше чем на tS, указывает на наличие систематических ошибок и на необходимость принятия мер для их обнаружения и устранения причин, которые их вызывают. Этот принцип был применен В. Шухартом при разработкеконтрольных карт.

Статистические методы анализа стабильности могут применяться также в ситуациях, противоположных рассмотренным выше. Если в конструкцию изделия или технологический процесс его изготовления вносят какие-то изменения, то требуется определить, в какой мере это приведет к ожидаемым результатам.

Следовательно, требуется провести испытания, сделать несколько проб и статистически обработать данные. Если

/Хср.ст.-Хср.нов./ > tS,

(9)

то эффект усовершенствования можно считать значимым.

Дата добавления: 2014-01-20