Геометрические представления и отображения аналитических зависимостей средствами геометрии

При применении математических методов к решению задач управления часто возникает необходимость в использовании геометрии. В одних случаях - это построение линий и геометрических фигур на плоскости, то есть в двухмерном пространстве, в других - кривых поверхностей и фигур в трехмерном пространстве, измерение площадей и объемов и т.д. Многие математические зависимости, выражаемые формулами, становятся более наглядными и смысл их легче выявляется, когда их представляют графически. Многие задачи аналитического характера могут проще решаться, если язык формул переводить на язык геометрии.

Раздел математики, в котором изучаются геометрические построения и фигуры, как отображения аналитических (выраженных формулами) зависимостей между различными величинами, носит название аналитической геометрии.

Основная идея аналитической геометрии проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами и, таким образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах. Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта (1596-1650) и Пьера Ферма (1601-1665).

Рассмотрим основные принципы числовых зависимостей, представленных графиками.

Как известно, на прямой линии можно разместить бесконечное количество точек, каждой из которых может быть приписано конкретное число, определяющее, например, расстояние данной точки от точки отсчета, условно обозначаемой «0». Таким образом дается понятие о числовой оси и о координате точки в одномерном пространстве.

Если заставить точку перемещаться на плоскости, то в общем случае она будет описывать кривую. Выбрав на плоскости точку отсчета (начало координат), лежащую на пересечении двух взаимно перпендикулярных прямых, мы сможем характеризовать положение любой точки кривой относительно этих двух прямых (осей координат) двумя числами. Условимся называть горизонтальную ось - осью абсцисс (Х), а вертикальную - осью ординат (Y).

Частным случаем кривой является прямая линия. Любая кривая может быть задана либо в табличной форме - набором значений координат X и Y, либо аналитическим выражением, то есть формулой. Для получения графика кривой нужно отметить положения лежащих на ней точек в системе координат и, так как на практике всегда между этими дискретными парами чисел (X,Y) оказываются некоторые промежутки, соединить нанесенные точки плавной линией.

В некоторых случаях полученные из опыта данные, по которым построен график интересующей нас зависимости, не позволяют с абсолютной, с точки зрения практики, достоверностью определить значения Y для некоторых значений Х. Это может иметь место, например, при слишком «редком» расположении экспериментальных точек на кривой, когда между отдельными значениями Х имеются относительно большие интервалы или когда интересующие нас значения X и Y лежат за пределами построенного отрезка экспериментальной кривой. Тогда можно (но не всегда!) пользоваться экстраполяцией, то есть такой зависимостью, когда на основании имеющейся информации можно найти (спрогнозировать) значения за рассматриваемым отрезком.

Экстраполируя зависимость между X и Y на основании тенденции, например, подъема кривой, можно несколько продлить эту кривую или приближенно указать значения Y в том интервале кривой, где точки на ней расположены редко. Конечно допустимость той или иной экстраполяции должна исследователем анализироваться. Метод экстраполяции часто используется при прогнозировании событий, однако пользоваться ими следует с большой осторожностью, чтобы прогнозы оказывались бы в достаточной степени правильными.

Рассмотрим графический метод решения систем уравнений.

Известно, что одного уравнения с двумя неизвестными недостаточно, чтобы найти его решение, указав точные значения каждого из неизвестных. Точнее говоря, для одного уравнения с двумя неизвестными существует бесчисленное множество решений, так как каждым из них являются координаты любой точки, лежащей на кривой, характеризуемой этим уравнением.

Если же имеются два уравнения с двумя неизвестными и отображающие их кривые пересекаются, то координаты этих точек пересечения являются решениями данной системы уравнений.

Понятно, что графический метод решений систем уравнений применим не только к уравнениям первой степени, но и к уравнениям других степеней, допустимость его использования в том или ином конкретном случае будет определяться простотой построения графиков, выражающих исследуемые зависимости между X и Y и допустимой точностью решения.

В некоторых случаях, если кривые, графически выражающие заданные уравнения, будут пересекаться несколько раз, то число этих пересечений будет равным числу возможных решений системы.

На кривых, отображающих различные зависимости между переменными, могут быть точки экстремальные и некоторые особые точки.

Экстремум = термин, объединяющий понятия максимума и минимума зависимости между переменными. К особым точкам на кривых относятся точки перегиба кривой, точки разрыва непрерывности.

Дата добавления: 2014-01-20