Правила дифференцирования функций

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3. (C*U(x))` = CU`(x), C - const

4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V²(x)

Таблица производных.

1. C` = 0, C – const.

2. x` = 1

3. (x^α)` = α x^{α – 1}, α Є R

4. (a^x)` = a^x lnx, a>0, a≠1

5. (ln x)` = 1/x

6. (sin x)` = cos x

7. (cos x)` = - sin x

8. (tg x)` = 1/(cos x)²

9. (ctg x)` = - 1/(sin x)²

10. (arcsin x)` = 1/²)

11. (arccos x)` = - 1/²)

12. (arctg x)` = 1/(1 + x²)

13. (arcctg x)` = - [1/(1 + x²)]

Интеграл. Действие обратное дифференцированию, называется интегрированием.

Если F(x) - одна из первообразных для функции f(x), то выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом.

Неопределенный интеграл от функции обозначается символом

читается: «неопределенный интеграл f(x) на dx» и пишется

где f(x) - подынтегральная функция;

f(x)dx - подынтегральное выражение;

x - переменная интегрирования;

- символ (знак неопределенного интеграла).

Например, где является одной из первообразных от функции .

Геометрическое понимание интеграла состоит в следующем: как известно, значение производной в точке есть тангенс угла наклона касательной. Поэтому найти для функции f(x) первообразную, значит, найти такую функцию F(x), касательная к графику которой в точке х имеет тангенс угла наклона f(х).

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Пример: , , ,

Дата добавления: 2014-01-20