ПРИМЕР 1. Атом массой m с энергией e находится в объеме V, все точки и направления объема равноправны

Атом массой m с энергией e находится в объеме V, все точки и направления объема равноправны. Найти энергетическую плотность состояний. Получить температуру и давление, создаваемые фазовым ансамблем. Рассмотреть случай, когда в объеме находятся N атомов идеального газа.

Гамильтониан атома , система изолирована, тогда ,

.

Фазовый ансамбль находится в импульсном пространстве на сфере радиусом

.

Микросостояния фазового ансамбля отличаются направлениями вектора импульса. Число микросостояний, или фазовый объем внутри гиперповерхность :

при ,

. (2.2а)

Учтена независимость импульса от координат при отсутствии внешнего поля. Для плотности состояний

(2.9а)

получаем

. (П.2.5)

Плотность состояний классической частицы пропорциональна корню квадратному из энергии и объему, доступному для частицы.

Из (2.14)

находим

. (П.2.6)

Температура пропорциональна энергии частицы.

При

,

.

Из

, (2.12)

, (2.2а)

, (П.2.5)

, (П.2.6)

получаем давление, создаваемой фазовым ансамблем, соответствующим одной частице:

.

Получили уравнение идеального газа .

Частный случай – азот N₂

При

, ,

получаем

, .

На интервале энергии находятся уровней, следовательно, классический газ имеет квазинепрерывный спектр.

Для N частиц с полной энергией E радиус сферы в импульсном пространстве

.

Для объема импульсного пространства в виде шара размерностью используем

, (П.2.1)

получаем

,

,

– температура пропорциональна средней э нергии частицы.

Давление

удовлетворяет уравнению идеального газа .

Дата добавления: 2014-01-20